QUATRIÈME PARTIE " m

Et celle-ci pouvant se traiter par. la méthode précédente, on aura le résultat de la forme x=l+l'a + u'x", où il faudra prendre Tindéterminée x" de manière que * soit pair.

2° Si x est impai r,ir faudra; à la place «de v,' mettre v («/**■— g* A)~~*~ t et d'ailleurs le calcul sera entièrement semblable à -celui du premier cas.

On vbittnaintenantte procédé à suivre-, pour faire en sorte qu'iine quantité de la forme X. F t- -*- v soit divisible par unuorabre quelconque P. Ayant décomposé P en ses facteurs premiers, soit «" un de ces facteurs, on cherchera les valeurs de n, telles que la quantité proposée soit divisible par et ainsi successivement par rapport à chacun des autres facteurs. On aura différentes valeurs particulières de n qu'il faudra combiner ensemble, afin d'avoir une valeur générale qui satisfasse à toutes les conditions, et le problème ne sera résoluble qu'autant que toutes ces conditions pourront être remplies.

(443) Nous remarquerons que la valeur de q dont on a besoin dans la solution précédente (n° 43 1), peut être donnée directement par le théorème suivant.

« Si l'on a 9* — A|' = i , et qu'on cherche un exposant q, tel que « (?+ <H/A)* — i soit divisible par un nombre premier w non-di-

« viseur de A<f>, je dis qu'on peut faire 9= w — 1 si l'on a + 1,

c ou q=u> 1 si l'on a (-) = — »•

En effet on trouvera, comme au n° 129, que la quantité

(ç-h^V/A)w — (9 + ^l/A), divisée par o, laisse le même reste

qu'une quantité semblable (ç— k ■+■ % l/A)w — (ç— k + »J»l/A), dans laquelle k est un entier quelconque. Soit*=<p, on aura ainsi, en omettant les multiples de »,

(? + *|/A)"-(? + tV/A)=(+V/ A)W-<H/A,

na THÉORIE DES NOMBRES.

et le second membre, à cause de <|»w=«|r , devient | \/h (A * — i)

Soit r(£) = i, on aura (? -I- ^/h)"— (? 4- <J,l/A)=o; donc

(ç+ ^v/A)w— 1 — 1 est divisible paru, donc on peut faire 7=*» — 1. Soit a0 = — 1, on aura (? + <|> VA)W=?— «|>l/A ; donc

(? + ^|/A)w+I=9> — A|' = i , donc on peut faire 7=1*+ 1.