II. i

n4 THÉORIE DES NOMBRES.

composent la deuxième solution seront du quatrième ordre, les nombres f", g" , h", qui composent la troisième solution seront du seizième ordre; c'est-à-dire en d'autres termes, que le nombre de chiffres d'une solution sera environ quadruple du nombre de chiffres de la solution précédente.

A partir d'une solution telle que la troisième, par exemple , on peut suivre l'ordre ascendant pour avoir les solutions quatrième, cinquième, sixième, etc. ; ce qui se fera par les formules précédentes; mais on peut aussi suivre l'ordre inverse pour avoir la deuxième puis la première solution; ce qui ne peut se faire que par de nouvelles formules que nous allons rechercher.

(445) Il s'agit en général de déduire x,y, z, des quantités données x' ,y , z', au moyen des équations

x* = x(x* + a«.>J) /=— jrizx* ayl) z' = z(a?"' — «.r5)-

Pour cela sait y' = m x", z' = nx, ensuite y—px, z = qx, on aura

x'= ^(i + zap') m= pjz+ap')

l'équation pour déterminer p sera donc

équation qui est susceptible d'une solution assez simple. En effet , si on la met sous le forme

(p' + mp H- >)' — (ttp +v)' = o,

on aura pour déterminer X, p , v , les équations

m» -+- 2X — (i* = o, d'où résulte |i,=2i + m'

ffa-r = ; v«=v — -