QUATRIÈME PARTIE
La dernière donne x'= 1 ~*"a,m> , et par conséquent
>=l^('^,W ) = /tt^7^;- * étant connu on a immédiatement
ft=l/"(aX + w*), et v=^m)i — Ensuite on a pour déterminer p les deux équations du second degré
d'où résultent ces quatre valeurs
/; = -Hm + r)±l/[-;(m + rf-l-,]
pétant connu on aura y par l'équation y — 71 ^^Jk^pJ^ = — p"+mt ensuite j: par l'équation
ce qui fera connaître y—px et z—qx.
Au reste il n'est pas besoin de connaître j: qui pourrait être irrationnel ou même imaginaire, car à la place des trois valeurs x, px, qx , il est visible qu'on peut prendre i tp, q, comme si on faisait x= i. Ainsi tout se réduit à trouver la valeur dep par l'équation
a/)4H- zamp* + ap + m — o,
valeur qui , si elle n'est pas rationnelle , ne donnera pas de solution.
(446) Supposons qu'on satisfasse à cette équation par la valeur p = k, d'où résulte
les équations précédentes entre x , p , v , doivent se combiner avec l'équation p' + (m + p)p + x -I- v= o qui étant satisfaite par la valeur
n6 THÉORIE DES NOMBRES.
pz=zk, donne
X + v = — *' — {m -t- fi) k ;
niais on a donc
2v=m' — a/rtA — a*' — 2|aA — j*'.
Multipliant par f* et mettant au lieu de jav sa valeur wX — i ou 7m(|i' — m') — on aura
— m') — ^= — ji* — a*ji' + (m* — am* — a^)^
ou
(t1 + (aA: 4- m)>'-f- (*/*-»- ikm — m')^ — m1 — ^=o,
équation qui détermine immédiatement et qui devient homogène
entre y, m et A , en substituant au lieu de ^ sa valeur — a*J (^rj^j); on peut en effet l'écrire ainsi
o=(a# + m) (iJ + (2^ + m)' ^ -t- (a A + /n)(a A' + a A m — m') p
-h 2k\k+ am) — mJ(a^ + w).
Cette équation est très -remarquable en ce qu'on y satisfait par la valeur ^.—\/{m* + ax), tandis que X est déterminé par la formule
^C4^) = (* + *»)«>(.T^Ïro> °" 'il aisément que l'équation en ji a une racine réelle et deux imaginaires; ainsi on voit que la racine réelle est donnée par la formule l/(m* -f- ax), c'est-à-dire par un radical carré imposé sur une quantité composée de la partie rationnelle m' et de la partie a X qui représente un radical cubique. Cette forme de la racine d'une équation du troisième degré n'est pas semblable à celle que donne la formule de Cardan , puisque celle-ci est composée d'un terme rationnel joint à deux radicaux cubes imposés sur des quantités de la forme A-t-l/B, A — l/B.
(447) Cherchons a priori les équations du troisième degré qui
