QUATRIÈME PARTIE

se résoudraient comme l'équation en p. Considérons pour cet effet l'équation

^ + A,c' + Bx + C=o,

et supposons x' = M -+- y, on aura.r(j+M+B)= — Ay — A M — C, et en élevant chaque membre au carré

(7 + M) [y + aj(M + B) + (M + B)'] — (A7-+- A M +C)'=o,

ou en développant

/ + a (M + ïï)y + (M + B)' r-+- M (M -t- B)'=o + M + a M (M + B) — (A M -+• C)*

-A* — aA(AM + C).

Maintenant si l'on veut que dans celle-ci les termes affectés de y* et y disparaissent, il faudra satisfaire aux deux conditions

A' = 3 M + 2B aAC = B« — 3M\

L'équation de condition est par conséquent, en éliminant M,

3B' — 6AC=(A«— aB)'

ou

A4 — 4 A'B + B' + 6AC=o; alors 011 aura M =7 (A* — 2 B) , et l'équation pour déterminer^ sera y=(AM -*-C)'— M(M + B)' = C'— W = Cr.— tt(A'— aB)\

Substituant au lieu de C sa valeur ~ A ^fr^ B~B.. , on aura , (A* 4-B)3(3B — A') A'4-B » /3B — A'\

et par conséquent

n8 THÉORIE DES NOMBRES.

Cette formule de solution est beaucoup plus simple que celle que donnerait la formule ordinaire de Cardan; cependant on pense bien qu'elles ne doivent pas différer essentiellement l'une de l'autre, et qu'ainsi la plus composée peut être ramenéeà la plus simple. C'est ce que nous allons faire voir.

(448) Si dans l'équation proposée ^ + Aa;'+Bx + C=o, on fait x= — , on aura la transformée zl +pz + fj — o, dans laquelle p= — 3 A* + qB et q — % A3 — 9 AB + 37 c; substituant au lieu de C sa valeur en A et B, on a q = - (5 A4~,8a^B + 9B'); de là ré- «ult.. -„-u ■ „»9 A'-36A« B- i8A* B' + .o8A' B'-+-8i B«

-:7-»-V/(iî,-TV/',)=aA(A'-3B)

Soit donc 1>0A(A'— 3B)]=f, on aura V>[(A'~A3B)-] = il et

par conséquent z= z étant connu , on aura

* = i(-A-W + il),

de là ou enfin

ts[*' — *B , A'4-B,y^3B-A'M

ce qui s'accorde avec la première formule qui est comme on voit l'expression le plus simple de x.

(449) Pour donner une application des formules précédentes considérons l'équation a? +y*= 7 z* , à laquelle on satisfait en donnant