QUATRIÈME PARTIE

« chacunedesdeuxquantité8y,+ /i,,7,-i- an* soit égale à un carré (i).

Puisqu'on a px=q* + in* , il font (n° i43) que p soit de la forme f' + zg> : or on satisfait à l'équation o* + a fl' =(/* -t- a^)' en faisant y-h/il/— a=(/+£V— a)% ce qui donne

et cette solution est d'ailleurs aussi complète qu'on peut le désirer , comme on peut s'en assurer par les formules du n* 17. Il reste donc à satisfaire à l'équation q* + h' — m\ dans laquelle substituant les valeurs trouvées pour q et n , on aura /* -+- ^g*=m\

Cette dernière équation , qui doit être possible si l'aire A est un carré, présente un nouveau triangle rectangle formé avec l'hypo-

(i) Voici le passage de Fermât que nous suivons assez strictement, en ajoutant seulement les développements nécessaires pour rendre la démonstration plus claire et plus complète :

■ Si area trianguli esset quadratus darentur duo quadrato-quadrati quorum difte- - rentia esset quadratus : Unde sequitur dari duo quadrata quorum et summa et « difFerentia esset quadratus. Datur i toque numerus composites ex quadrato et

• duplo quadrati aaqualis quadrato, eâ coaditione ut quadrati eum cottrponentes « faciant quadratum. Sed si numerus quadratus componitur ex quadrato et duplo

• alterius quadrati, ejus latus similiter componittir ex quadrato et duplo quadrati, « ut facillimè possumus demonstrare.

• Unde concludetur latus illud esse summam la te ru m circa rectum trianguli

• rectanguli etunum ex quadratis illud componeutibus efiieerc basem et duplum » quadratum aequari perpendiculo.

•• Illud itaque triangulum rectangulum conficietur à duobus quadratis quorum •• summa et differentia erunt quadrati. At isti duo quadrati minores probabuntur

• primis quadratis suppositis quorum tàm summa quàm differentia faciant qiui-

• dratum. Ergo si dentur duo quadrata quorum summa et differentia faciunt « quadratum , dabitur in integris summa duorum quadratorum ejusdera natura»

• priore minor. Eodem ratiocinio dabitur et minor ista inventa per viam prions « et semper in infinitum minores invenientur numeri in integris idem prsestantes :

• quod impossibile est, quia dato numéro quovis integronon possunt dari infiniti

• in integris ilto minores. - Ed. cit. de Dbph.,pag. 33o,

thénuse m et les deux côtés f, *g : or l'aire de ce triangle étant et par conséquent égale à un carré, il s'ensuit que si l'aire A du triangle rectangle proposé est égale à un carré, on pourra , par le moyen de ce triangle , en découvrir un beaucoup plus petit , mais non pas nul, dont l'aire sera pareillement égale à un carré.

(3a5) Pour juger de la petitesse de ce second triangle rectangle en comparaison du premier, il faut exprimer la valeur de A eu / et g : or on trouve

A = (m* — »«) m' n> =lyf' g*(f'—z g-)' (/' + 2£*)' (/* + 4^)-

D'ailleurs/' — 2g1 ne peut être moindre que 1 , et on a toujours (/*+ 8/V, P + $g> > i Jonc l'aire A est plus grande

que i28/*g*; donc f' g*, qui est l'aire du second triangle, étant

nommée A', on aura A' <l/-^-

De là on voit que s'il existe un triangle rectangle en nombres entiers, dont l'aire A soit égale à un carré, il existera en même temps

"n triangle rectangle dont l'aire A', plus petite que l^^g » sera en~

eore égale à un carré, et cependant ne sera pas nulle, car l'un des nombres y et g ne peut être nul sans rendre A = o.

Mais par la même raison, du triangle rectangle dont l'aire A' est égale à un carré , on pourra déduire un troisième triangle dont l'aire

A", plus petite que \/ ~, sera égale à un carré, et ainsi à l'infini.

Or il implique contradiction qu'une suite de nombres entiers A, A' , A" , etc. , quand même ils ne seraient pas carrés , soit décroissante et prolongée à l'infini. Donc il n'existe aucun triangle rectangle dont l'aire soit égale à un carré.

Corollaire. La même démonstration prouv e que la formule /«*—/** ne peut être un carré, non plus que la formule /* +4g*> excepté seulement dans les cas évidents, l'un de m=n, ou n=o; l'autre de foug=o.

On peut aussi en conclure que l'équation .r4 -\-y* — 'ipt est i 111-

QUATRIÈME PARTIE. . 5 possible, hors le cas de x=y; car de cette équation on tirerait p1 — xiyÀ = (J ~* or on vient de voir que le premier membre ne peut être un carré.

(3a6) Théorème II. « I>a somme de deux bicarrés ne peut être « égale à un carré , à moins que l'un d'eux ne soit nul. »

Soit, s'il est possible, a* + ô4=c'; il faudra d'abord qu'on ait a'=p* — q* , b*= 2pq, c—p1 + q\ J'observe ensuite que a et b pouvant être supposés premiers entre eux,/? et 7 seront pareillement premiers entre eux , et même ils ne j>ourront être tous deux impairs ; car s'ils l'étaient, a et b seraient tous deux pairs. On ne pourra non plus supposer p pair et q impair, parce qu'alors px — q* serait de la forme 4X' — i , laquelle ne peut convenir au carré a*. Donc il faudra que p soit impair et q pair, et ainsi, pour satisfaire à l'équation b' — zpq, on prendra p — m%, q — in*y valeurs qui étant substituées dans l'autre équation at=p, — qt, donneront m* — \n*—a\

Cette dernière équation exprimant que le carré m* est égal à la somme de deux autres carrés 4 «S a', te seul moyen d'y satisfaire est de prendre m,=zf1+g*i*n1=zfgia=fl — g\ Or l'équation n' =fg, ou/etg doiventêtre premiers entre eux, donne/= *,g= g*, et par ces valeurs, l'équation /«'=/* + g* devient a* +^* — m'.

D'où l'on voit que s'il existe deux bicarrés a4, b* dont la somme soit égale à un carré c' , il existera en même temps deux autres bicarrés beaucoup plus petits «* , g4 dont la somme sera pareillement égale à un carré.

(327) Et pour rendre sensible la petitesse de ceux-ci en comparaison des premiers, on déduira des valeurs précédentes,

ft = 2aeV/(ct4+ g4);

ce qui donne a4 ^- ^=\y[\a" -h {a^ + b*)]% et par conséquent

a4 + g4< V^K + b%). On remarquera d'ailleurs que « ne peut être zéro non plus que g, parce qu'il s'ensuivrait b=o , cas exclu.

S'il existe donc un carré c' égal à la somme des deux bicarrés, on connaîtra par son moyen un second carré c'', pareillement égal

à la somme de deux bicarrés, et dont le côté c sera <C\/ c , sans être nul ; mais par la même raison, le carré c'' en fera connaître un troisième c"' jouissant de la même propriété, et dout le côté c" sera * >

<l/c , sans être nul ; ainsi de suite. Or il implique contradiction qu'une suite de nombres entiers c, c' , c", etc. dont chacun est plus petit que la racine quatrième du précédent, sans être nul, puisse être prolongée à l'infini. Donc il est impossible qu'un carré se décompose en deux bicarrés.

Corollaire. I<a même démonstration prouve que la formule. . m* — 4'*4 ne peut être égale à un carré, si ce n'est lorsque w = o.

(3u8) Théorème IJT. « La formule x* + 2y> ne peut être égale à « un carré, si ce n'est lorsque j=o. »

Car si l'on fait x* + 2j* = z% il faudra d'abord supposer... z =p* + 'i q'} .r' —p% — nq',y = 2pq; ensuite l'équation r' =p% — a q% donnera x=mi — an' ;p=m* + an* , <jr = a/wn. Ces valeurs étant substituées dans l'équation y*~npq, on aura ^ ' = 4 m n (m'-\- an'). Pour satisfaire à cette dernière équation, j'observe que les nombres m et n sont premiers entre eux ; car s'ils avaient un commun diviseur, p et q en auraient un aussi, et par suite x et y, ce qu'on ne doit pas supposer. Donc si m n (m* -f- a n*) est un carré, il faudra que ses trois facteurs m , n,m' + an' soient chacun un carré. Soit donc m=/\ n=g*, et il restera à faire en sorte que /' ag-4 soit égale à un carré.

Cette formnle est semblable à la proposée, et il est visible qu'elle est exprimée en nombres beaucoup plus petits, car on a x*+a.y>p\

et par conséquent po\xfk+ '2g* < \/ (x*+ a/1) ; d'ailleurs les nombres /et g ne sont nuls, ni l'un ni l'autre, puisque s'ils l'étaient, ils rendraient y nul , ce qui est un cas dont on fait abstraction. De là il suit que si oh a un carré A* qui soit de la forme x*-*-a/*,on pourra en déduire un second carré A'" qui sera de la même forme, et dont

le roté A' sera <l/A : mais par la même raison le carré A'* en fera connaître un troisième A"' de même forme, et ainsi de suite. Or il est impossible qu'une suite de nombres entiers A , A', A", etc. soit décroissante et prolongée à l'infini; donc il est impossible que la formule x* + ay* soit un carré, à moins qu'on n'ait 7 = 0.

Corollaire. Il suit de cette proposition , que la formule x* — Sy* ne peut non plus être égale à un carré ; car si on avait x* — Sy*=z\ il s'ensuivrait que z* + a(ax/)' est égale au carré (x* + 8/')', ce qui ne peut avoir lieu que lorsque y=o.

(3a<)) Théorème IV. a Aucun nombre triangulaire, excepté l'unité, « n'est égal à un bicarré. »

Soit , s'il est possible , { x (x -+• 1 ) =/*, ou x(x + 1 ) == aj* ; si l'on fait y=mn, m et n étant deux indéterminées, cette équation ne pourra se décomposer que de l'une de ces deux manières :

lesquelles donnent, soit r = n* — a m* , soit 1 = a m* — «*.

La seconde combinaison donnerait//»* — /i4=(//r* — 1 )* , équation impossible , parce que le premier membre est de la forme p* — 7*, laquelle ne peut être un carré , que dans le ras évident de m = 1 —x.

La première combinaison donne 1+am4 =«*, équation également impossible, parce qu'en vertu du théorème précédent, le premier membre ne peut être un carré. Donc aucun nombre triangulaire, excepté 1 , n'est égal à un bicarré.

(33o) Théorème V. « La somme ou la différence de deux cubes « ne peut être égale à un cube. »

Soit, s'il est possible, xl±y=z\ on pourra supposer à l'ordinaire que les deux nombres x et/ sont premiers entre eux , et alors y et 3 seront également premiers entre eux, ainsi que xetz. Cela posé, des trois nombres x,y,z, il y en aura toujours deux impairs et un pair ; soient x et y les deux impairs , qu'on peut toujours

placer dans un même membre; si l'on fait x£:y=2p>xzpy='Aq, ou bien x^=p + q, dcy=p — q, on aura par la substitution. . 2P(P' ~*~ 3^,)=zî> et on observera ultérieurement, que puisque p + q et p — q doivent être impairs, il faut que p et q soient l'un pair, 1 autre impair; de sorte que p' -+- 3q* sera toujours impair. Mais + 3^*) devant être un cube, il est clair que zp sera

divisible par 8, et ainsi p sera pair et q impair. Maintenant il y a deux cas à distinguer, selon que p est ou n'est pas divisible par 3.

(33 1) Premier cas. Si p n'est pas divisible par 3 , les facteurs ip, p' ■+■ 3q* seront premiers entre eux, et si leur produit est un cube, il faudra que chacun d'eux en soit un. Soit donc p* + 3q'— r* ,

alors r sera de la forme m1 + 3/i" » et on pourra faire

p + q \/ — 3 = (m + n\y — 3)J , ce qui donnera

p — rn1 — 9 m rï q = 3min — 3n3.

Ces valeurs satisfont à l'équation p* + 3y'=rJ, mais d'ailleurs elles ont toute la généralité nécessaire , ainsi qu'on peut s'en assurer par la résolution directe de cette équation. Il ne reste donc plus qu'à faire en sorte que Hp ou a m (m + 3n)(rn — 3 ri) soit un cube. Or il est aisé de voir que les trois facteurs de cette quantité sont premiers entre eux, et ainsi chacun d'eux doit être un cube; soit en conséquence m -4- 3n~ a3 , m — 3n — b\ am=cJ, on aura a3 -f- èî=r3. De là on voit que si l'équation a? ±y3=zi est possible en nombres entiers , l'équation a1 + b1 — c3, semblable à la première et exprimée en nombres beaucoup plus petits , sera également possible.

Or par la substitution des valeurs précédentes , on a

ou z=abc (a +°$ ) » et Par conséquent z>a*b'c; donc en

passant de l'équation sfàzy—i? a sa transformée a* + iJ=c', le nombre c qu'on peut représenter par z sera beaucoup plus petit