QUATRIÈME PARTIE

aux indéterminées x,y, z, les valeurs 2, — 1, 1 respectivement De là on déduira la seconde solution 1 2 , 1 5 , 9 , ou plus simplement, en supprimant le facteur commun, 4,5,3. Celle-ci en donnera semblablement une troisième 1 265 , — 1 256 , i83, et ainsi à l'infini dans l'ordre ascendant.

Pour continuer la même série dans l'ordre inverse, regardons comme donnée la solution 5,4>3, afin d'en déduire la première, par la méthode de l'art. 445, nous aurons x,= 5,y = 4, *'=3, ce qui donne m — \ — o . 8 , // = • = o . 6 , et l'équation pour déterminer p sera

8 , 4 p*+lp'+*P + l = o;

d'où l'on déduit p = — 2 , q = "^^j^f ^ = — 1 ; on a ainsi immédiatement la solution ï,p,q, ou 1, — 2, — 1, ou 2t — ce qui est en effet la première solution d'où l'on était parti.

Ce même résultat se déduirait, mais avec moins de facilité, des formules générales où l'on emploie les auxiliaires X , -a, v , pour avoir la valeur de p. On aurait alors

ou par approximation X = 0.9109768, |x = 1 .5690611,

v=— o. 1728540. Ensuite pour trouver p on aura les équations à résoudre

La seconde a ses racines imaginaires; la première donne les deux racines réelles p— — 2.000000,/? = — 0.369061 1 ; mais la valeur p= — 2 que nous savons être exacte est la seule utile. C'est aussi ce qu'on trouverait sans le secours des décimales, en observant que dans le cas présent où m={,on a n = -J-j + 1 X — -^x*, et de plus i + v=?2u- --f , valeur qui, substituée dans la formule

lao THÉORIE DES NOMBRES.

/>— — 7(m+>)±l/'[^(m + (t)' — X — v], donne les deux racines

=7- t*=TV-^ + S*'.

(45o) On peut remarquer que les formules de l'art. 444 appliquées à 1 équation +y = A , donnent le moyen de trouver une infinité de solutions de eette équation, quand on en connaît une seule; en

sorte que la somme de deux cubes donnés/5 -h gi peut ëire transformée d'une inimité dé manières en deux autres cubes; en effet, il résulte de ces formules qu'en prenant

on aura/3 + g* =/" -h Par des formules semblables on obtiendra fn-*-g'1—f1+g'i-> et ams» « l'infini. Donc si on avait/3-*- £*=AJ, cette solution de l'équation x}+y + zi = o en fournirait nue infinité d'autres, mais on sait que la chose est impossible.

(4 Si) Nous terminerons ce paragraphe par un théorème qui peut être utile dans diverses recherches d'analyse indéterminée.

« Théorème. Si l'équation —px'+qz — r=o a ses trois racines « rationnelles , la quantité A—p'q' — 4 q* + î Sp q r — 4/»J r — 27 r\ « devra être un carré parfait.

En effet soient a, 6, y, les racines rationnelles de l'équation proposée \ si l'on cherche les valeurs des quantités v et z ainsi eompo-

ces quantités devront être également rationnelles. Or par les formules connues ou trou ve/ + z =/> q — 3 r, y z = q* -+- p V — 6pqr + gr'; donc {y — zy=p*q* — ^q}+iSpqr — ^p^r— -xjr>; le second membre doit donc être un carré parlait.

Appelant ce second membre Q1, on aura Q = ±(j— z).. = ±(« — ê)(6 — y) (y — *)i et l'équation précédente pourra être mise sous la forme