QUATRIÈME PARTIE. iai 4 (p%— 3</)J = (aps—9pq + a7 r)» 4- a;Q

Donc en supposant les nombres y, entiers, si on met p1 — 3*/ sous la forme a'(am + i), il faudra que /» soit pair et qu'en même temps am + i soit de la forme f'-k-'àg' \ car si l'une de ces deux conditions n'avait pas lieu, le premier membre de l'équation ne pourrait pas se réduire à la forme P' + 27 Q', qui est celle du second membre.

Enfin il résulte de ce même théorème que si l'équation

r' — px% + qx — r=oa ses trois racines rationnelles, l'expression de l'une de ces racines, donnée par le formule de Cardan, sera toujours de la forme

x=^ + l>(A + Bl/-A) + l>(A-Bw/-;),

A et B étant rationnels ainsi que l/(A' 4- 7B').

Si on représente par V5 — p V* -4- q V — r=o , l'équation dont les racines «r ,y , z, positives ou négatives, sont supposées satisfaire à l'équation x* -t- y" -f- z* — o , n étant un nombre premier ; on pourra exprimer le premier membre par une fonction de p,q, r, laquelle étant égalée à zéro, sera la première équation du problème. II faudra en outre que la fonction

4 (/>' — 3 qf — (*p} — yp q + 27 r)' ,

laquelle est la même pour toutes les valeurs de n, soit de la forme a7Q«.

Ces deux équations pourront , au moins dans des cas particuliers, faciliter la résolution de l'équation x" +f + z"=o, ou conduire à en démontrer l'impossibilité. On peut remarquer d'ailleurs

i° Que le coefficient p, égal à la somme x +y-k-z, est toujours un nombre pair divisible par comme il sera démontré ci-après ( partie VI) ;

a' Que le coefficient q, égal à xy + yz + zx, est toujours un II. 16

iaa THÉORIE DES NOMBRES.

nombre impair, de signe contraire à p, lequel n'a aucun diviseur commun ni avec p ni avec r;

3" Que r est un nombre pair de signe contraire kp, et divisible par n*.

On |>eut , dans tous les cas , faire p = i , et considérer alors <y et r comme des quantités rationnelles qu'il faut déterminer par ces deux équations.