QUATRIEME PARTIE. ia

§ XIV. Méthode pour la résolution de l'équation

y' = a + b x 4- c x* -t- d xJ -t- e x4 en nombres rationnels.

(45a) Avant été conduits à traiter fort au long de la résolution des équations indéterminées , nous devons faire mention d'une méthode indiquée par Fermât pour résoudre en nombres rationnels l'équation y = a -h b x + ex* + dx* + e x* , dont le second membre est un polynôme rationnel où la variable ne passe pas le quatrième degré. Voici les cas principaux dans lesquels la résolution est possible.

i* Si le nombre a est égal à un carré positif f' , les valeurs x—o, y =y donneront immédiatement une solution de l'équation proposée. Pour avoir une autre solution, on supposera u -h'.biX ^.c xl 4- dx% + e.v* = (/+ gx + kx1)' , ce qui donnera , en développant et ordonnant,

o=/' •+ zfgx 4- a./h.v' -» zghx3 + h%x* — a—b -+- g" — d — e

Or on a déjà f' = a; si pour faire disparaître les deux termes suivants, on fait ifg—b—Q, ifh +g' — c=o, on en tirera les valeurs des coefficients g et h, lesquelles seront g^=~.^ h~cu~~^y • Alors l'équation étant réduite aux seuls termes qui contiennent x* et xl, il en résultera une valeur rationnelle de x, savoir, x =3^*~~ •

Cette valeur donnera donc une nouvelle solution en nombres rationnels de l'équation proposée; si toutefois on n'a pas -igh—d, ni e—h\

La nouvelle solution étant désignée par x—m, si l'on fait gé-

Ia4 THÉORIE DES NOMBRES,

néraïement x=m + x, et qu'on substitue cette valeur dans l'équation proposée , le second membre deviendra de la forme a'+ b'x' + c'x' -+- d'xn + éx\ dans laquelle cl sera encore un carré positif. On procédera donc de la même manière pour trouver une nouvelle valeur de x' et ainsi à l'infini. D'où l'on voit qu'une première valeur connue de x suffit pour en faire trouver une infinité d'autres, sauf quelques cas particuliers qui ne peuvent guères avoir lieu que lorsqu'il est absolument impossible de résoudre l'équation proposée autrement que par les premières valeurs données.

a" Si le coefficient c du terme exs est égal à un carré positif h', on fera a+bx + ex* + dx* ■+• ex'= (f+gx + hx*)\ce qui donnera, en développant et réduisant,

o = f% + zfg x + a/h x' + zghx* — a —b ■+ g' —d

Maiittaiant on peut faire disparaître les x' et x* , en prenant g— ^ , f=i^lLy et alors l'équation réduite au premier degré, donne. .

x= a~f\- Cette solution en fournira ensuite une infinité d'au-

très comme dans le cas précédent , mais il faut qu'on n'ait pas zfg—b = o.

3* Si l'équation proposée est de la forme f=f' + bx + ex' -*dxs -\-h'x*> en sorte qu'elle tombe à-la-fois dans les deux cas précédents , on pourra faire usage de chacun des moyens indiqués. On peut aussi tout d'un coup fa\rcy=/-\-gxzk hx\ ce qui donnera, en substituant, développant et réduisant,

o= afgx±2fhx'±2ghxy — b -h g' —d

Or on peut satisfaire à celle-ci de deux manières, soit en faisant £T=^>-