QUATRIEME PARTIE. ia

ce qui donne x= ''-£*gh d ' solt en *a,sant S— ' ou ' 0,1 tire x= — =^f

4* Si on aune solution désignée par #=/ra, on fera x—m x, et l'équation sera ramenée au premier cas.

Nous pourrions ajouter un grand nombre d'applications de cette méthode tirées des problèmes d'analyse indéterminée, dont Euler a donné les solutions dans plusieurs de ses Mémoires, et dans le second volume de son Algèbre. Nous nous bornerons à un ou deux exemples de ce genre, afin de donner une idée de cette branche d'analyse, qui exige une grande sagacité dans le choix des moyens de solution, mais qui étant trop particulière, n'a qu'un rapport éloigné avec notre sujet.

(453) Proposons-nous de trouver trois nombres a?, y, z, tels que les trois formules

* Xl+J* + 2 2', X' + Z% + If, JT' +Z'+ 2ï'

soient égales à des carrés.

Comme on peut supposer que ces nombres sont premiers entre eux , il est aisé de voir qu'ils doivent être tous trois impairs : on peut donc faire y=x + zp, z=x + zq , et on aura

x' + y -h a 2, = 4x* + 4 (p + zq)x + 4(^' + a^'). Je fais cette quantité =4 (a? +./)', et j'en tire &—^^2?p~fq ' ^

seconde formule donnera semblablement x=? + et pour

faire accorder ces deux valeurs , je fais

p* + ar/—/'=7' + 2/>'— g*, xf-p — 2qz=2g—q~2p;

j'en tire des valeurs rationnelles de/et de g, savoir/=i(5? +Zp) , gz=i\{$p + 3q), au moyen desquelles la valeur de x deviendra

I2f> THÉORIE DES NOMBRES.

Cette valeur satisfait déjà aux deux premières conditions : on aura d'ailleurs les valeurs correspondantes de y et z par les formules y = x+2p, z=x+2(/; de sorte qu'en supprimant le dénominateur commun, on pourra faire

x= jp' — 3opq + 77*

z = 7/?' — x^pq + 1 3 7*.

Substituant ces valeurs dans la formule y -4- z' ■i-zx' , et faisant

^= i + 6 , il restera à satisfaire à la condition

i + + 28' -t- G1 + ff£64 = à un carré.

Or on trouve immédiatement 6 = o, ou 9 = — i, ou ô = — a; mais il ne résulte de là aucune solution. Soit donc, suivant la méthode précédente ,

i -h 2e + ao,+ ô'H-ff|o4=(i +ctô + fie1)'; •

si l'on développe cette équation , et qu'on prenne a = ~j , on aura G = 208 ; donc ^ = 209, q= 1 , ce qui donne cette solution

Il serait facile d'en trouver plusieurs autres , mais elles seraient probablement plus composées, quoique la méthode dont nous avons fait usage ne prouve pas que les nombres trouvés sont les moindres possibles qui satisfont à la question.

(454) Soit proposé encore de trouver trois carrés inégaux x\ y% 2* , tels que les trois formules x1 + y* — z* , x* + z* — ,r% J1-*- s* — soient égales à des carrés.

On trouve aisément que les deux premières conditions sont remplies, en faisant

> — r* -4- rs — s' z = r' — rs — s'.