QUATRIÈME PARTIE

Il reste donc à satisfaire à la troisième, laquelle devient, par la substitution de ces valeurs, r1 — ^r* + à un carré. Soit r= Hs, la question se réduit à faire en sorte que 04 — 40' + i soit un carré. On pourrait prendre Ô = o, ou 6=2, mais il ne résulte de là aucune solution convenable; pour avoir d'autres valeurs, soit 0=2 -+• 9, on aura 1 + 169 -t- 209* 4- 891 -+■ ?4= à un carré. Je fais cette quantité =(1 -♦- 89 + «9')*; prenant ensuite a= 1 , je trouve 9= — donc 6 = — ^ , r= 1 5 , s =4î d'où résulte cette solution :

Ce sont vraisemblablement les moindres nombres qui satisfont à la question. On aurait pu faire encore «= — 22, ce qui aurait donné 9=4tti G=17fr> ou r=44a»-*=i6' : mais de là résultent des nombres beaucoup plus considérables que les précédents.

On peut suivre un autre procédé pour faire en sorte que la quantité 1 ■+- 169 -f- 209* 4- 89* 4-9* soit égale à un carré. Représentons ce carré par (i + mç + n 9*)' , nous aurons , en comparant et développant,

0= amç+anç' + amn^ + n'ç4 — 16 +/»' —8 —1

Soit 9 = a ^~2™ aQ = 8 y on aura entre metn l'équation

(8 -h m) n' 4- (m* — 20m — 8)n — ^rrV + m 4- 72 = 0.

Maintenant, pour avoir une valeur rationnelle de n , soit m = — 8 , on aura/*= — ç=fH> qui est la seconde des deux solutions trouvées par l'autre méthode.

i*8 THEORIE DES NOMBRES.

§ XV. Développement du produit (i — x) (i — x*) (i — a:5), etc.

continué à l'infini.

(455) Considérons plus généralement le produit

(i + xz)(i + ar'z)(i +a:1z)(i -t- <r*z), etc.,

et supposons que ce produit développé suivant les puissances de z , soit égal à la suite i +Pz+Qz,-f-RzJ-*- etc. ; si on met xz à la place dez, on aura (i +xlz){\ +x*z)(i +x*z)etc. = i -t-P.rz+Qx'z'+etc.,

et par conséquent i + Pz + Qz* -+- RzJ etc. =(i -+• xz)

(i + P«z + Qx'z' -t- etc.). Développant le second membre et égalant de part et d'autre les coefficients d'une même puissance de z , on aura

V i -jz> (i— x) (i— x1)

Rx* x'°

etc.

Soit z = — i , et le produit proposé ( i — x) ( i — x*) ( i — jr') etc. , c pie nous appellerons X , sera exprimé par cette suite

XX5 X* M ' ~T^+(1-X)(l- X') (l— X)(l-X*)(l — X»)

+ (,,)(,,.)(,,•)(, - etC- >

où l'on voit que les numérateurs ont pour exposants les nombres

•QUATRIÈME PARTIE. i-ag triangulaires 1, 3, <>, 10, i5, etc. Nous alldrts ferre voir malhtfentfnt comment on peut faire disparaître successivement dans les dénominateurs, les facteurs 1 — xy 1 — x*, 1 — x3, etc.

(456) Pour y parvenir, nous changerons chaque terme de la suite en deux autres , savoir :

en x +

etc.

Par ce moyen la suite (A) deviendra, en mettant à part le premier terme 1,

~X~ T=Tx + (<-xf(,-^j — (i-x) (1-**) (1-*») + etC-

H ; r . -+- t r? w t: — etc. ,

ou en réduisant

(B) — x a,' + — ^ + — ^î___ete.

Comme il est essentiel d'observw la loi que suivent les exposants u, 5,9, i4, etc. , on jettera un coup d'œil snr le tableau ci-dessous où cette loi est très-claire.

La première ligne horizontale est celle des nombres naturels, la seconde est eelle des nombres triangulaires, ou des exposants des numérateurs dans la première suite (A). Ajoutant à chaque nombre triangulaire le nombre naturel écrit au-dessus, on forme la suite a, 5, 9, 14,20, etc. qui est celle des exposants de x dans la suite (B), si on en excepte le premier terme — x dont l'exposant 1 est immédiatement au-dessus de a dans la table, au lieu d'être à côté comme dans la suite (B).

Gela posé, on voit que nous avons fait disparaître le facteur 1 — .r II. 17

i3o THÉORIE DES NOMBRES.

des différents dénominateurs : chassons de même le facteur i — x' ; ce sera en faisant

(l— X') (t—Xi)~T^X~'+ (I— X')(l — x>)

etc.

Par ce moyen la suite (B) deviendra, en omettant la partie entière

s XI X" X'*

X + r^~(i-r')(i-x') + (i-x*)(i— xJ)(i— x*)~~ etCx* X'* x**

ou, en réduisant,

etc.

Les exposants 5, 7 , 12 , 18, 25, etc. , à l'exception du premier 5 , formant la ligne (C) du tableau, ils se déduisent des précédents 5,9, i4, 20, etc. en ajoutant à ceux-ci les nombres naturels qui leur répondent verticalement. Quant au premier exposant 5 de la série (C), il est immédiatement au-dessus de 7 dans le tableau, comme appartenant à la série précédente (B).

Séparons la partie entière x* + x~ de la série (C) et donnons au reste la forme suivante

—x"— + (.-^(.—x*) — (, -x») + etc-

+ ^T5 ~ x*) + (1— x»)(i— x*)(i-x*) ~~ el('-

Nous aurons en réduisant la quatrième suite