QUATRIÈME PARTIE. i3i

où le facteur i — x* ne se trouve plus dans les dénominateurs. On y trouve les exposants la , i 5, 22 , 3o , 3g , etc. , qui , à l'exception du premier, forment la ligne (D) du tableau ; ils se déduisent des précédents 12, 18, 25,33, etc., en ajoutant à chacun de ceux-ci le nombre naturel qui lui répond verticalement.

On voit qu'il est inutile de continuer plus loin l'opération analytique et qu'on peut se borner à prolonger le tableau , en ajoutant dans chaque colonne verticale le nombre naturel inscrit au haut de cette colonne. Alors les deux derniers termes de chaque colonne verticale sont les exposants de x dans la série réduite ou dans le produit cherché. Quant aux signes de ces deux termes, on voit clairement par notre opération qu'ils sont positifs dans les colonnes de rang pair et négatifs dans les autres.

Nombres naturels.... 1,2, 3, 4» 6> 7i 8, 9,

Donc le produit cherché

X= 1 — * — x' + as + a" — x" — xli + x" + xtê - x^—x^

+ x4' 4- x>' — etc.

(457) Quant à la loi des exposants de ce produit , elle est facile à trouver ; car, puisque toutes les colonnes verticales sont des progressions arithmétiques , si on appelle k le nombre naturel qui désigne le rang d'une colonne quelconque, on aura pour le dernier terme de cette colonne ; k (k + 1) -h kk, ou t(3A-'+ k), et pour le pénultième terme - k (k + \)+k(k — i),ou { (3^' — /). Donc la série

des exposante 2,7, i5, 26, 4o, 5; , etc., aura pour ternie général T(3X-J h- X),.et la série i , 5, 12, 22, 35, 5 1, etc. , aura pour terme général 7 f3A-': — Â-) , donc enfin le produit cherehé X ne contiendra de puissances de x que celles qui peuvent être représentées par .rKî',±i)) tétant un nombre entier. Ces puissances auront pour coefficient + 1 si k est pair et — 1 si k est impair.

La série 1 , 5 , f 2, 22 , 35, 5i , etc. , qui a pour terme général . . 7 (3 A-'< — k) , est proprement celle des nombres pentagonaux (voyez ci-dessus, arl. i5(>); mais l'autre série 2,7, i5, a0,4o, etc. appartient aussi aux mêmes nombres, en. donnant à k les valeurs — 1 , — 2 , — 3 , etc. , c'est-à-dire en changeant le signe de k. En eiïetles deux séries n'en forment qu'une déduite du même terme général T(3A-'— A-), comme on le voit ici :

k — 4, — 3, — a, — 1,0,1,2, 3, 4, etc.

Nombres pentag. 26, i5, 7, 2, o, i, 5, 12, 22, etc.

Soit N«* un terme quelconque compris dans le développement de

plusieurs facteurs \—xx, 1 — x\ 1 — arrête., en nombre fini ou infini ; le coefficient N sera en général le nombre de fois que n peut être formé par l'addition des exposants a, 6, y, etc. pris en nombre pair , moins lé nombre de fois que n peut être formé par l'addition de ces exposants pris en nombre impair.

(458) II résulte par conséquent delà loi qu'on vient de démontrer dans le développement du produit ( 1 — x)(i — x%) (1 — x>), etc. , continué à l'infini ,

r Que tout nombre qui n'est pas pentagonal, c'est-à-dire qui n'est pas compris dans la forme 7 ( 3 X*' ± k ) , peut se former d'autant de manières par l'addition des nombres naturels 1 , 2, 3, 4, etc. pris eu nombre pair, que par l'addition de ces mêmes nombres pris en nombre impair.

2* Que tout nombre pentagonal pair ou qui répond à une valeur paire de est formé une fois de plus par les nombres naturels