QUATRIÈME PARTIE. i

la place de a' ,

xx, — byy, + *(xy, +/ar,+ ayy,).

Soit pour abréger

X=xxt — byy,

Y = xy, +yx, +ayyty

et on aura (x + ay) (x, 4- *y,)=zX + «Y.

Par la même raison on aurait, en mettant S à la place de a,

(x+ey)(x, + Çy,)=:X + eY.

Multipliant entre elles ces deux équations, le premier membre sera le produit des deux polynômes proposés, et le second se réduira à X' + flXY+iY'; d'où l'on voit que le produit des deux fonctions semblables

x' + axy + by> , x,1 4- a x,y, + by,' ,

est représenté par une fonction semblable X* 4- oX Y 4- b Y\

Mais il y a une seconde manière de former le produit des deux polynômes proposés.

(46o) En effet si on multiplie d'abord x 4- a. y par x, 4- €y, le produit sera xx, 4- ayx, 4- Gxy, 4- *6yy,, ou , en substituant les valeurs €=a — «, a€=b,

xx, + axy, + byy, 4- *(yx, — xy,).

Ainsi on peut donner à X et Y les valeurs.

X = xx, 4- a x y, 4- byy, Y=yx, — xy,,

et le produit cherché sera encore représenté par X' 4-flX Y 4-^ Y*.

De ce que le produit de deux facteurs de la forme x'4- axy+ by* peut être mis de deux manières différentes sous la forme semblable X* 4- aXY+bY*, il s'ensuit que le produit de trois facteurs, tel*

i36 THÉORIE DES NOMMES,

que

x' + axy+by\ x,' + ax,yt + by,\ x; + a x,y, -+- by; ,

pourra être mis sous la même forme de quatre manières différentes, que le produit de quatre facteurs sera huit fois de la même forme , ainsi de suite. Eu général si l'on a n facteurs de la forme x' -+- axy+ by\ leur produit sera a"~ ' fois de la même forme.

(46 1) Si les n facteurs dont nous parlons sont égaux entre eux , alors on aura d'autant de manières

(a?' a xy ■+■ by)' = X' + « XY + M'*;

mais cette équation n'aura qu'une solution, si on veut que les indéterminées X et Y n'ayent point de facteur commun.

Pour trouver directement cette solution on pourra se servir de l'équation X + aY=(x+ *y)', ou

X 4- aY+Ywfi - b) = [t + lay+yl/Q-b))" , d'où l'on tire

. . .«—i n.n — i.n — if , .n-i >/«' »\ \=n(x+$ay) y+ ^ — (fs+-ay) y{- — ù) + eW.

Ainsi on connaîtra généralement les deux fonctions X et Y pour toute valeur de n.

(ffîn) Supposons maintenant; que a, 6, y, sont le» trois racines de F équation

-p1 — ap' + bp — c=o;

si on développe le produit des trois facteurs

, (xrh,9y + ïz)(x + fy + Çiz)(a: + iy + y1z), on trouvera l'expression suivante