QUATRIÈME PARTIE. i

xJ + (« + 6 + y) x'y + («'+ 6* + y') x1 z -|- («6 -i- «y + 6y) xy* -4- (ot*6 4-6'y+ y'* + «'y + 6*« + y*€)xyz

+ («' S* + g' y' + y* a») .r 2* + « € y/ + («' € y -f- <5* y « + y'« g)^ Z + (a*Cty + e,y,«-hy'a,6)jZ, + a,e,y,a,l

dans laquelle tous les coefficients sont des fonctions invariables des racines *, 6, y, et pourront par conséquent être exprimés par les coefficients de l'équation en p. Le produit dont il s'agit se réduit donc à une fonction entièrement rationnelle , savoir :

x* + ax*j+ — *b)x%z+bxy>+(ab — $c)xyz+(b% — aac)xz' + t-y + acy*z + beyz* -h Cz3;

et cette fonction que nous désignerons par &{x,y, z), aura la propriété qu'en multipliant ensemble plusieurs fonctions semblables dans lesquelles les quantités a, b, c, sont les mêmes, le produit sera toujours une fonction de même forme.

(463) En effet, supposons qu'il s'agit de multiplier la fonction précédente ^{x,yt z) par une fonction semblable Q(x,,y,,z,)où les constantes a, b, c, seront les mêmes, la question se réduit à trouver le produit des six facteurs

x + «'z, x + €y+€'z, x + ty+fz x, + *y, + *'z,, xt + 6y, + €'z,, x.+yy.+fz,;

or si on multiplie d'abord i + par x, + <xy, + «*z, , et que

dans le produit on mette au lieu de «J et a* leurs valeurs

ï! = û«' — b* + c, «*=(a1 — b)<t — (ab — c)* + ac, ce produit sera exprimé par X +aY+ «'Z, en faisant

\=:xx, + c(yz, zy,) -+- aczz,

Y=xy, + yx, — b(jz, + zy,) — {ab — c)zz,

Z —xz, + zx, +yy, + a{yz, + zy,) +(a'—b)zi,.

Dès- lors on voit que le produit des deux fonctions proposées Q(x,y, z) , Q(x. , y,, z,), sera égal au développement des trois fac- II. 18

leurs

(X + «Y+«'Z) (X + €Y+6»Z) (X-f-yY + fZ),

et qu'il sera par conséquent égal à la fonction désignée par . . . 4> ( X , Y , Z ) , laquelle est

Xs+aX'Y + {a'—2b)X'7t+bXY'+(ab— 3c)XYZ+p— aac)XZ* 4-cY54-acY'Z4-6cYZ'4-c-Z\

(464) Supposons ensuite qu'on veuille multiplier ce produit par une troisième fonction z,) semblable aux deux autres, il est visible qu'on devra faire

X,=Xj7, 4- c( Yz, 4- Zj.) 4- acZz,

Y.œXj-, 4- Yx, — b(Y z, 4-Z/,) — (ab — c)Zz,

Z,=Xzi -h Zx, 4- Yj, + a(Yz, 4- Zyt)+ (a1 — &)Zz,,

et le produit des trois fonctions dont il s'agit sera exprimé par la fonction semblable *(X, , Y, , Z,).

Il en sera de même du produit d'un nombre quelconque de fonctions, et par conséquent d'une puissance quelconque de la même fonction. Mais dans ce dernier cas on peut parvenir au résultat par un procédé plus simple que celui de la multiplication successive.

En effet on peut, par différentes méthodes connues , déterminer directement les quantités X,Y,Z, de manière qu'on ait

Il suffit pour cela de développer le premier membre suivant les puissances de a, et de substituer aux puissances supérieures à «' leurs valeurs réduites d'après l'équation as = aa — ba + c. Par ce moyen la quantité **(.f,j,z), qui désigne la puissance n de la fonction *(.c, y, z), sera exprimée par<t>(X, Y, Z).

(465) Dans le cas de — on trouve immédiatement par les formules de l'art. 463, en faisant x,=:x, J.=j, z, = z,

X 4- 2 cyz 4- a c s'

Y = 2j?j — abyz — {ab — c)z'

Z=zxz+y 4- a a y* 4- {a' — b) z%