QUATRIÈME PARTIE. i3o

ces valeurs satisferont à l'équation

quelles que soient les trois indéterminées x, y , z.

Si on établit entre ces trois indéterminées la relation

o — ixz+y* + nayz -+- (a* — b)z' ,

qui donne Z = o, alors*(X , Y, Z) se réduira à X* -+• «X'Y + b X Y' + cY\ d'où il suit qu'on peut résoudre généralement l'équation

X' 4-rtX'Y + bX' Y+ cY'=V'.

Car en prenant les indéterminées de manière que l'équation de condition Z = o soit satisfaite, les valeurs qui en résulteront pour X et Y, seront telles qu'on aura en même temps V = *(x,j, z). Soit pour cet effet / = (« — à)z, ce qui donne

il en résultera la solution

X = {b^,y (u'—nbu'+8cu + b> — /iac)

V = — [b û>y (tt-au' + bu — c)

xi ( — u'+aau5 — 5 bu* -t-2oc m3 -f- (5 b' — ao a c) «' )

V = CA—«.)j j + (8a>c— aa£' 4Ôc)m + £j — 4^c-i-8c'} *

Et si on veut que les fonctions X et Y n'aient pas de commun diviseur, on pourra faire «="~, x = (u* — b)zl , et on satisfera à

l'équation -i.

X^rtX'Y+^XY' + cY^V',

par les valeurs

X =y4— a bfz* + 8 cyz1 + (b* — 4 a c) z<

V = — $z(f—ayz + byz' — czs)

V =y* — nay^z ■+- 5by*t' — %ocyizi — (56' — zoac)y' zx

— ($a't— %ab%~ 4^c)7ss— ^abc + 8c')zs.

i4o THÉORIE DES NOMBRES.

Telles sont les formules qui résultent de la supposition Z=o. Les suppositions Y = o,X=o> conduiraient à des formules semblables pour résoudre généralement les équations

X3 + («• — a6)X'Z + (6* - aac) XZ« + c>ZJ=\V' cYï + acY'Z + £cYZ'-4-c'Z}=\\

(466) Considérons maintenant l'équation du quatrième degré

pK — a/?' hbp' — cp + d = o ,

dont les racines sont « , € , y , î ; si au moyen de ces racines on forme les quatre polynômes

le produit de ces quatre polynômes sera une fonction invariable des racines a, 6, y , 8 ; car il est visible que ce produit reste le même en faisant une permutation quelconque entre ces racines. Cette fonction sera donc un polynôme du quatrième degré, homogène en x,y,z,u, dont les coefficients pourront s'exprimer par les quantités données a,b ,c , d, en appliquant les formules connues pour déterminer toute fonction invariable des racines d'une équation donnée.

Mais comme la multiplicité des termes dont un pareil produit est composé, peut donner quelque embarras dans la détermination

de leurs coefficients, ou pourra supposer que le facteur

x + *y + %'z + Ju, et les trois autres semblables sont les racines de l'équation du quatrième degré

P4— AP3 + by— CP + D = o,

qu'on obtiendra en éliminant p des deux équations

P —x + py +p'z +pi u o—p* — api +bp*—cp + d.