QUATRIÈME PARTIE

que z. Mais par la même raison on déduirait du cube c3 ou z1 un troisième cube z"\ tel que z" serait beaucoup plus petit que z et ainsi à l'infini ; or il est impossible qu'une suite de nombres entiers z, z , z", etc. soit décroissante et prolongée à l'infini. Donc la formule a/?(/>' -+- 3<7') ne peut être un cube, lorsque p n'est pas divisible par 3.

(33a) Second cas. Si p est divisible par 3, on fera p=3r, et la formule ap(p'+ 3ql) deviendra i8r(r/'+ 3 r'). Maintenant comme les facteurs i8r et q1 -+- 3r* sont premiers entre eux, il faudra que chacun d'eux soit un cube. Faisant donc q* -f- 3 r* — (/*' + 3g1)1 , ou 7 -+- rl/ — 3= (/ + #1/— 3)' , ce qui donne

il restera à faire en sorte que 18 r ou 37 . zg(f+ g) (/ — g) soit un cube. De là on déduira comme c\-àtsswsf+g—a\f — g=bs, %g = c5 , et par conséquent «J — b*= c*. Ainsi on voit que si le cube zi peut être la somme ou la différence de deux cubes xidzy1y il y aura un autre cube beaucoup plus petit c1 qui sera pareillement la différence de deux cubes «' — 6J; je dis que c* est beaucoup plus

petit que z3; en effet, les valeurs précédentes donnent

z—3abc{ai — aJ6J + £*), et par conséquent z>3a4i*c. De là 011 conclut comme dans le premier cas que *p{pl + 3 q') ne peut devenir un cube lorsque p est divisible par 3. Donc dans tous les cas l'équation proposée ±j* =zi est impossible, à moins que l'une des indéterminées ne soit zéro.

(333) Théorème VI. « L'équation .rJ +yi—amz1 e*t impossible « pour toute valeur de m. »

Dans cette équation, où l'on suppose m non divisible par 3 pour ne pas rentrer dans le cas précédent , les nombres x et y doivent être impairs ainsi que z; d'ailleurs le premier membre est le produit des deux facteurs x +y, x% — xy+y\ qui ne peuvent avoir II a

io THÉORIE DES NOMBRES.

que 3 pour commun diviseur; ainsi il faudra distinguer deux cas, selon que z est ou n'est pas divisible par 3.

Soit i° z divisible par 3, l'équation proposée se divisera nécessairement en deux autres comme il suit :

.r' — xy -f- y = 3 r' ,

et l'on aura z=3flr; r étant premier à 3 a.

La seconde de ces équations peut se mettre sous la forme . . .

(-±r)- + 3(^£)'=3H, ou (î^y + 3(l+Z)W; doù

l'on voit que r, qui est toujours un nombre impair, doit être de la forme f* 4- 3^; faisant donc r—f* 4- 3^, puis {f +g\/ — 3)1 = F+Gl/- — 3, on aura r'^F'H- 3G',etde l'équation précédente on déduira \{x— y)=F, '-(.*;+ j)=G. Maison aG=3^(/'— done

Dans cette équation # doit être divisible par a"~ ' , cary — est tm nombre impair, puisque/' H- 3g* eu est un ; d'ailleurs les trois facteurs g,f+g,f—g, n'ayant aucun diviseur commun, l'équation précédente devra se décomposer en trois autres , savoir :

g=zm~'*\ f+g=?, f—g=i,

d'où résulte 6J — y1 erra* a1, équation semblable a la pruposée et composée de nombres beaucoup plus petits.

Soit a' z non divisible par 3 , alors l'équation proposée se décomposera en ces denx-ci :

x* — xy+ f—r*, lesquelles supposent z—ar, et /• premier à a.

La dernière étant mise sous la forme (j^~y + 3 (1^2)*= t on voit que r devra être de la forme f' + 3g\ C'est pourquoi , fai-

sant comme dans le premier cas, r=y* + 3^*, {f+gV — 3)3= F + G|/ — 3, on aura r*= F* + 3 G1 , ce qui donnera la solution x+y=n¥, x-j=aG. Mais on a F =/(/*— gf); donc... 2"- * «J =/(/'— 9#') : les trois facteurs du second membre/, /+ 3g", / — 3#, étant premiers entre eux et/' — 9^ étant toujours impair, cette équation ne peut subsister, à moins qu'on n'ait /= a" -'a1 , /+ 3g-= 63 , / — 3g=fly ce qui suppose a— a €y , les trois nombres a, 6, y, étant premiers entreeux. De là résulte l'équation g1 4-T3= a" «\ semblable à la proposée et dans laquelle a sera, ainsi que a, non divisible par 3.

Puisque dans les deux cas l'équation proposée se réduit à une équation de même forme et composée de nombres beaucoup plus petits, opération qui peut être répétée indéfiniment, il s'ensuit que cette équation est impossible, excepté dans le seul cas où z = o, et aussi dans le cas de z = i , si on avait m=\.

(334) H suit des deux théorèmes précédents que l'équation.. ï'+^siAz' est impossible pour les valeurs A=i,a,4»8,i6, etc. ; il serait facile de démontrer par la même méthode qu'elle est également impossible pour les valeurs A =3, 5, 6, et une infinité d'autres. Mais si on avait A = 7, il est visible que l'équation x* + y*=j zx serait satisfaite par les valeurs x — 2,y= — i, z = 1 ; de même l'équation .vi+yi=gzi le serait par les valeurs x = a, y — 1 , z—i. Nous ferons voir par la suite que dans ces sortes d'équations une solution connue suffit pour en faire découvrir une infinité d'autres.

(335) Théorème VII. «Aucun nombre triangulaire, excepté 1, « n'est égal à un cube. »

Car supposons qu'on ait ~ x (x + 1 ) =y* , ou x (x + 1 ) = a y* ; si on fait y=mn , m et n étant deux nombres premiers entre eux , cette équation ne pourra se décomposer que de l'une des deux manières :

1 +x = n1 x=amJ,

la THÉORIE DES NOMBRES.

lesquelles donnent n3± i = a/n\ Mais suivant le théorème précédent cette équation ne peut avoir lieu à moins qu'on n'ait n= ï ; donc, excepté les cas de r=o et x = i , il ne peut y avoir aucun nombre triangulaire égal à un cube.

L'équation {x(x+ \)=y* peut être mise sous la forme. . . . Sj3 + i =z'\ donc celle-ci n'est possible que pour les seuls ras J=o,.r= i.

(336) Théorème VJlf. « L'équation x' -+- x—yJ n'est susceptible « que de la solution x—5, j=3. (Ed. de Dioph., pag. 3ao.) »

En effet, si cette équation avait lieu, y devrait être de la forme //-+- a<7'; ainsi il faudrait faire x + [/ — u — (p + f/\^ — a)\ ce qui donnerait i — 3p'</ — 27'; donc y = i , p = 1 , 7= 3, v — 5.

(337) Théorème IX. « L'équation x* + ,\=y n'est susceptible « que des deux solutions x = st,y='x; x = 1 1 1 , y= 5. »

Carj devant être de la forme/;' -4- </', il faudra faire x -+ x\/ — 1 = (p-\- q\/ — i)J, ce qui donnera a = 3/?*<y — 7% équation à laquelle on ne satisfait que par les valeurs p= 1 , 7= 1 , ou par les valeurs /> = 1 , y = — 2 , lesquelles donnent les deux solutions mentionnées.

Remarque. Nous avons démontré dans ce paragraphe que l'équation xiàzyi~zi est impossible, ainsi que l'équation xk±:y* — z\ et à plus forte raison l'équation x*±y* = z*. Fermât a assuré de plus (Ed. de Dioph., pag. 61) que l'équation x* +y" = z" est généralement impossible, lorsque n surpasse 2. C'est sur quoi on trouvera ci-après quelques recherches dans la VIe partie.

§ II. Théorèmes concernant la résolution en nombres entiers de

l'équation x° — b — a y.

(338) Si l'on satisfait à l'équation proposée en faisant x=H, on y satisfera plus généralement, en faisant x—^ + az, z étant un nombre indéterminé. Or dans la suite formée d'après le terme général 6 + il y aura toujours un terme compris entre — v6 et r 0; on peut donc regarder ce terme comme une solution ou racine de l'équation proposée ; et la question est de trouver toutes les solutions ou racines de cette sorte dont l'équation proposée est susceptible. Voici différents théorèmes qui remplissent cet objet, dans le cas où a est un nombre premier; nous considérerons ensuite le cas où a est un nombre composé.

(33$) Théorème I. «L'équation x" — b=>3iL(a)(î), dans laquelle « a est un nombre premier, et b un nombre non-divisible par a,

« ne sera possible qu'autant qu'on aura b~7 — i=3Tl («),w étant « le commun diviseur de n et de a — i . Si cette condition est rem- « plie , l'éf juation proposée aura un nombre u de solutions qui

a seront comprises dans l'équation x" — £TC=oit(a), où * est le « moindre entier positif qui satisfait à l'équation «n — <p(« — »)=w. »

Si l'équation proposée est résoluble , on aura , en rejetant les multiples de a , x" = b ; on a en même temps , par le théorème de Fermât (n* 1 29) , x* ~ ' = 1 . Les deux nombres n et a — 1 ayant pour commun diviseur », si l'on fait n a — 1 —d \>, il sera facile de trouver deux autres nombres positifs « et 9 tels qu'on ait

ic fi — 9 a' — 1.

(1) L'expression abrégée OK{a) désigne un multiple de a.

Maintenant des équations xn w=6, xa w= i , on tire

e» = .r = a r = x , donc x =b , ou

xut — b'K=3K{a)-y

d'où l'on voit que l'équation proposée ne pourra avoir qu'un nombre w de solutions (n° i3a); et pour qu'elle ait effectivement ces solutions, il faudra que les deux équations xn <az=b, xa w= i puissent s'accorder entre elles. Or ces dernières donnent xn a w=£a , .rn a W3= i" 3= i ; donc il faudra qu'on ait Àw=s i , ou

If' — i =3ti(a).

Cette condition est la seule nécessaire , et toutes les fois qu'elle sera remplie, l'équation proposée aura un nombre * de solutions contenues dans l'équation xw — #*=3tt(a). Or on s'assure que celle-ci a effectivement un nombre o> de solutions, en observant que xw — b*

est facteur de xa w — ba * qui revient à .r*~'— i + aR.

Remarquez que si dans l'équation proposée n est plus grand que a — i . on peut ôter de cet exposant les multiples de a — i , et ne conserver que le reste positif. En effet, x"~' divisé par a, laisse le reste i ; donc x' divisé par a, laissera le même reste que x*.

(34o) Tl suit du théorème précédent que l'équation x" — b=3K>(a) aura toujours une solution , quel que soit b , lorsque n et «— i seront premiers entre eux; soit alors x le plus petit nombre positif qui

satisfait à l'équation rn — ç (a — i) — i , cette solution sera x=b'K.

En général , ce théorème a l'avantage d'indiquer tout à-la-fois si l'équation proposée est résoluble, combien elle a de solutions, et quelle est l'équation la plus simple qui contient toutes ces solutions. Dans l'équation réduite , l'exposant de x sera toujours diviseur de n — i ; ainsi il ne s'agit plus que de trouver les solutions de l'équation x* — b==M<(a), dans la supposition que n soit diviseur de a — i . Or il est facile de voir que si on connaît une des valeurs de x,

on les aura toutes en multipliant la valeur connue par les différentes racines de l'équation x" — 1 =3it(a); il convient donc avant tout, de s'occuper de la résolution de cette dernière équation.

(34i) Théorème II. « Étant proposée l'équation x* — i =oit(a), « dans laquelle a est un nombre premier, et n un diviseur de a — i , « en sorte qu'on ait a — i — a!nt

« i° On aura x=u? 7 u étant un nombre quelconque non-divi- « sible par a.

« a* Si Ô est une valeur de 6" en sera une aussi, quel que soit « l'exposant m.

« 3* Si le nombre 6 est tel que 6V — i ne soit pas divisible par a, « v étant un diviseur premier de n, la formule ar=G* contiendra « toutes les solutions de l'équation proposée , lesquelles seront i , « 6, 6'. . .O"-*, ou les restes de ces quantités divisées par a.

« 4* Non-seulement il y a plusieurs nombres 0 qui jouissent de cette

« propriété , mais le nombre en est/i^i — ^ — ^) (' — Ç^)* e*C-'

« v, V, v", etc. étant les différents nombres premiers qui peuvent di- « viser n, »

Car i° si l'on fait x = u'' , on aura x" — i =«•'* — î = u'~' — i , quantité toujours divisible par a.

•i" Si ar=9, on aura , en rejetant les multiples de a, 9"= i : faisant donc x = 6" , ou aura pareillement x* = 0""= i , quel que soit m.

3* L'équation proposée devant avoir «solutions, la formule x=V les donnera toutes, si dans la snite f ,9,6',$'. . .6""', il n'y a pas deux termes égaux (en rejetant toujours les multiples de a). Or

supposons 0*1 =6*, il en résultera 8°= i , <t étant jt — X ou X — ji, et par conséquent moindre que n. Mais comme on a déjà H*= i , si on appelle e le commun diviseur de » et de n , et qu'on résolve 1 équation rcj — <rz=«,onauraOn^=8'x"*"e; le premier membre, à cause de V= i , se réduit à i ; le second , à cause de 6e = i , se réduit à e"; ainsi on aurait 6*= i . Soit «=«/»', et «'= n'\ , v étant un nombre

premier; puisqu'on a $'= i , on aura aussi btn — i, ou 8; = i ; équation impossible, puisqu'on a supposé dans l'énoncé du théorème,

que la quantité 0V — i ne peut être divisible par a; donc la formule x=V" renfermera implicitement toutes les solutions de l'équation proposée.

\° Soit v l'un des diviseurs premiers de n; de même qu'il n'y a que n valeurs de x qui satisfont à l'équation x' — i = an (a) . il n'y

a aussi que ^ valeurs de ô qui donnent G* = i . Donc sur n valeurs que doit avoir 6 dans l'équation 0" = i , il y en a n — "qui ne don-

lient pas •»= i. Raisonnant de même à l'égard des autres facteurs premiers dont/* peut être composé, on conclura qu'il y a un nombre (i)nÇt — ;) (' — v ) (f — t) ' &tc-de valeurs de 6, telles qu'au-

oune des quantités ô"— i , — i , b* — i , etc. , n'est divisible par a.

(34a) Done si n est un nombre premier, il suffira d'avoir une valeur de x autre que l'unité, et cette valeur étant nommée f>, h formule x = h" contiendra toutes les valeurs de x.

Si n est une puissance d'un nombre premier v , pour que la valeur x=H qui satisfait à l'équation xT— i , en donne la solution complète, il faudra que (r ne soit pas égale à -4- i , et alors on aura

Enfin si n est de la forme v v' v"^, etc., comme on peut toujours

le supposer, je fais va=p,v'^=(i', v'T = pt", etc. , et je résous séparément les équations

3? — l=3ÎL(o), X? — l =31L(a). — I —DM (a).

(i) Le nombre des valeurs de 6 est le même que celui des nombres plus petits que £ et premiers à n. (Introd., art. XV.)

QUATRIÈME PARTIE. 17 Soient x=\m , x , x=\"m , etc. les solutions complètes de ces écjuatioBS, je, dis qu'en prenant e=xxV, etc., la formule x=zbm sera la solution complète de l'équation proposée. C'est un moyen qu'on pourra mettre en usage , lorsqu'on n'aura pas rencontré tout d'un coup, par la formule •r=«"', le nombre a propre à donner toutes les solutions.

Exemple I.

(343) On demande les sept valeurs que doit avoir x dans l'équation x' — 1 = ^(379) ?

Puisque 379 — 1=7.54, on aura x — u^*, u étant un nombre quelconque non-divisible par 379. Soit u=a, on aura, en rejetant successivement les multiples de 379 , w6 = 64 , «" = — 73 , u'* — a3 , ull = iSo, ui*= ia5. Donc x— ia5, et comme l'exposant 7 est un nombre premier, toutes les valeurs de x seront comprises dans la formule x= ia5" t laquelle donne les sept nombres suivants 1 , ia5 , 86, 1 38 , — 1 84 , 1 F9 , 94. La moindre valeur de x étant 86 , on voit qu'il aurait été fort long de chercher les valeurs de x par le tâtonnement, en faisant successivement x = ±; 1 , d=a, =fc3, etc.

Exemple II.

(344) Étant proposée l'équation x*3 — 1 =31^(379), on peut, d'après le n" 342, résoudre les équations x9 — 1 -=3^(379), x1 — 1 =311/(379). Celles-ci ayantpour solutions complètes x= 180", x= ia5", on en conclura celle de la proposée #=(180. ia5)"= 13g"; et comme le carré de i3g , divisé par 379, laisse le reste — 8 , on a plus simplement x — ( — 8)".

La même équation aurait donné immédiatement, par la première partie du théorème II , x= u6. Soit u =a , on aura x— 64 ; et comme les diviseurs premiers de «=63 sont 3 et 7, il faut voir si 64" et 64* ne donneront pas le reste + 1 . Or on trouve que ces puissances ne donnent pas le reste -t- 1 ; donc 64" eût été encore la solution complète de la même équation.

i8 THÉORIE DES NOMBRES.

(34r>) Théorème III. « Étant proposée l'équation xM+ i =oil(«), « dans laquelle a est premier et t\n diviseur de a — i ,on résoudra « 1 équation x** — i =JR/(«) qui sera toujours |>ossible. Soit 07=6" « la solution complète de celle-ci, je dis que la solution complète « de la proposée sera #=6" i étant un nombre quelconque. »

Car 0" étant une valeur quelconque de x dans l'équation

x*m — i=3R/(a), sera aussi une valeur quelconque de x dans l'équation x" — i = jil(«). Restent donc les puissances impaires de 6 pour résoudre l'équation x" ■+■ i =3lL(a).

♦ Exemple.

(346) Soit proposée l'équation i = (433), qui est résoluble, parce que 433 — i divisé par 36, donne le nombre pair 12.

Je me servirai pour cela de l'équation x"' — i=OT.(433), qui donne x=u6. Soit « = 5, on aura iâ ou x — 37. Cette valeur étant nommée 8 , on a 6,6=- — 1 , 6'*= 198; donc suivant lès parties a*"* et 3**" du théorème II , 6" est la solution complète de l'équation . .

— 1 =3iL(433), et par conséquent e"""*"' est celle de la proposée xu + 1 =31^(433). Voici les trente-six solutions qui en résultent.

x=3j'i~*" = zk 37 ±8 ± 127 ±2o3± 79 ± 99^ 2 ± i4o=fc 1 rnj ± i28± i33±ai6±35± i48±3a±75±54± 117.

Les mêmes valeurs seraient renfermées plus simplement dans la formule x — t.'"*".

(347) Théorème IV. « Étant proposée l'équation x' — ^=oil (a),

« dans laquelle b"= ± 1 , m étant diviseur de — — ,

« 1" Si m et a sont premiers entre eux, et qu'on cherche les nombres « positifs 7c et <p tels que w n — <p m = 1 , je dis qu'on aura x — b y, « y étant une racine quelconque de l'équation y — (± 1 )' = 3R. («) ; « 2* Si m etn ont un commun diviseur a»; soit n=ri<* et itn — ç/«=i,

« on aura x = bV!y, ou x* — &*j=.m («),/étant une racine quel-

« conque de l'équation/" — (± i)?=o»L(a). »