QUATRIÈME PARTIE. i4i

Au moyen de cette élimination on connaîtra les coefficients A , B, C, D , en fonctions de x,y, z, u, a ,b ,c, d; et puisque D est le produit des quatre valeurs de p , il est clair que D sera la fonction cherchée résultant du produit de nos quatre polynômes.

(467) Cette fonction étant représentée par Q(x ,y, z, «), si on veut la multiplier par une fonction semblable Q(x, , y, , z, , «,), dans laquelle les quantités a,b,c,d, sont les mêmes, il suffira de considérer le produit des deux polynômes

X + ay + a'z + aU x, + *y, + «'z, + alU,.

Soit ce produit = X+ «Y+a'Z + «,V,on trouvera

X = .rx, — d(uy, + zz.+yu.) — ad{uz, + zu,)~{at — b)duu,

Y —yx, + xy, + c(uy, + zz, +yu.) -+- (ac—d) («x, + zu.) + (a'c—bc — ad)uu,

7s=zzx.+yy, + x z,—b(uy, + zz, +yu,) — (ab—c)(uz,+ zu,)

— {alb — b' — ac +d)uu,

V=«x, + zy, +yz. + xu, + a(uy, + zz, +yu.)

-+•(«• — b)[uzt zu,) + (a' — ïab + c)uu,t

et le produit des deux fonctions proposées sera *(X , Y , Z, V). Il en sera de même du produit de trois ou d'un plus grand nombre de ces fonctions; nous ne croyons pas d'ailleurs devoir pousser plus loin ce genre de recherches qui s'applique à tous les degrés , mais qui donne des résultats de plus en plus compliqués.

§ XVII. De quelques questions qui se rapportent , plus ou moins directement , à V analyse indéterminée.

(468) Parmi les nombreux problèmes d'analyse indéterminée dont la solution est due à Euler , nous choisissons les deux suivants qui se trouvent dans sa correspondance avec Lagrange(i).

Problème I. Trouver cinq nombres x,y, z,u,v, tels que le produit de deux quelconques de ces nombres, augmenté de l'unité, fasse un carré.

Pour trouver d'abord les trois premiers x, y, z , tels que les trois quantités xy + 1 ,yz+ 1, zx-h i, soient des carrés, prenez à volonté le carré décomposez /' — i en deux facteurs m,n, en sorte or qu'on ait l' — i = mn, les trois nombres cherchés seront m , n , m + n + al, qu'on pourra prendre respectivement pour ,x,y,z; en effet, on aura par ces valeurs

.vy -+- i=l'

yz -f- i =n(m -f- n + al) + i ={fi + /)• z x + i = m (m + /n-a/)+i = (m + /)*.

Si on cherche ensuite un quatrième nombre u, tel qu'en le combinant avec les trois premiers x,y, z t on ait trois nouvelles quantités ux+ i , « > •+ égales à des carrés, cette condition sera

remplie en faisant

En efïet , au moyen de ces valeurs on aura

Y) Voir les manuscrits de Lagrange déposés à la bibliothèque de l'Institut.

ux+ i =blm(l + m)(l + n) +(/' — m /»)'=(/*+ 9.1m -h m n)1 ity 4- i =(±ln(l 4- rri)(l+ n) 4- (/* — mn)%—(l% + 2/» + m n)' uz+ 1 1(1 + m)(l + n){il + m + n) + (t — m n)*

=(3P+ 2 /(m 4-/1)+ w/iV.

Enfin si l'on demande un cinquième nombre v qui étant combiné avec les quatre autres rende égale à un carré chacune des quantités m + i,vz+ 1 , vu+ 1 , nous désignerons d'abord par

ï—pls 4- qï — r£ 4- f=o, l'équation du quatrième degré dont les racines sont x, y, z, u; ensuite le nombre cherché i> sera déterminé rationnellement par la formule

V—U=ly —

(4%) Pour vérifier cette solution indiquée par Euler, il faut faire voir que la quantité Çr4- 1 sera un carré, sans particulariser la valeur de et par conséquent que la quantité

sera aussi un carré. Mais l'équation en Ç donne 4 ''£=4 S4 — \pV 4bql' 4- 4* » donc tout se réduit à prouver que la quantité

4?— 4^J + 4<7S' + a/»(*+ + (j+ i)' est un carré pour toute valeur de £.

Or on voit qu'en effet cette quantité sera lecarréde 2 1'— pi — *— 1 , si toutefois la condition

est satisfaite. La question étant réduite à ce point on formera les équations

p = m 4- n 4- z 4- u q = rnn + (m 4- n) (z 4- «) 4- * u p' — 4 ? — 4- « — z — u)' — 4/n/i — izu = (a/4-«)" — 4(/'— i) — 4z«

i4î THÉORIE DES NOMBRES,

donc

/j' —4 7— 40-4- i) = «(m + 4/— (\Vz).

D'un autre côté, il est aisé de voir qu'on a u=4l*z — £1, et qu'ainsi le second membre de la dernière équation étant zéro , la condition dont il s'agit est satisfaite.

Il ne reste plus qu'à substituer les quatre valeurs de i dans la formule générale

et on aura les quatre résultats suivants :

/a m" — pm — s — i\»

/an* — z>« — s — i V /n' — pz — * — i\»

Soit par exemple m = i , n = 3 , /= 2 , on aura .£=: î , j — 3,z = 8,

« = lao, v — 777^, et les cinq nombres x,/, z, m,i>, seront tels

que le produit de deux quelconques de ces nombres, augmenté de l'unité , sera égal à un carré.

A | B | C | D (4/û) Problème II. Dans un carré divisé en 1 6 cases , i 1 I G I H suivant la figure ci-jointe, inscrire 16 nombres A, B, L! * j ^ I ^ C. . .Q, qui satisfassent aux conditions suivantes,

i° Que la somme des carrés des nombres soit égale dans chacune des quatre lignes horizontales, égale aussi dans charnue des quatre lignes verticales, et dans les deux diagonales, ce qui fait 10 conditions;

a." Que la somme des produits deux à deux, tels que

A E 4-BF-+- CG +DH soit nulle à l'égard des deux premières lignes horizontales, comme à IVgard de deux lignes horizontales qiieleon-