QUATRIÈME PARTIE. i
ques, et qu'il en soit de même à l'égard de deux lignes verticales, ce qui fait 12 conditions.
On aurait donc en tout 22 conditions à remplir et 16 inconnues seulement Cependant Euler remarque qu'il y a une infinité de manières de satisfaire à ce problème , qu'il en possède la solution générale, et il en a donné pour exemple le carré suivant,
fil
L'analyse de ce problème n'a point été publiée et il est fort à désirer qu'elle le soit, si on peut la trouver parmi les manuscrits de l'auteur, non encore imprimés; car on voit qu'il serait fort difficile de la restituer.
(471) On a vu dans l'Introduction, art. X, que si un nombre donné. N est de la forme 2" « €y , etc. , « , 6 , y , étant des nombres premiers inégaux , la somme des diviseurs du nombre N est donnée par la formule
Si au lieu du facteur simple o on avait le facteur double a', ce facteur, au lieu d'être représenté dans la formule par 1 4- a, le serait
par 1 + a + «' ou ~T' de même un facteur triple a' le serait par
1 +* + «'-♦■ ou ' a'ns' ^e su'te » ce °tm s'applique également
aux autres facteurs qui pourraient n'être pas simples. Voici quelques usages de cette formule.
1" Ayant choisi n de manière que 2" — 1 soit un nombre premier, si on fait N = a"-' (2" — 1), la somme des diviseurs du nombre I\ sera, en vertu de la formule précédente (2" — 1)2"; donc cette soin me sera double du nombre N, ou, ce qui revient au même, le nombre N sera égal à la somme de ses parties aliquotes. Les plus simples II. 19
i46 THÉORIE DES KOMBRES.
de ces nombres auxquels on a donné le nom de nombres parfaits , sont a' (aJ — i ) = 28, a4 (as — i ) = 4g6, a6 (a7— i )= 8 1 a8 , a" (a,J — i ) — a" (8 1 9 1 ) = 33 55o 336 , etc.
II. Si on veut avoir un nombre N tel que la somme de ses diviseurs, N compris, soit triple de N, supposons N=a"a6Y> etc., « , 6, Y, etc. , étant des nombres premiers inégaux , il faudra satisfaire à l'équation
ou
Soit n = a, le second membre devient y, ainsi faisant « = 7, on aura — |— •— ^ • • • — ^ > équation impossible parce que les dénominateurs €,y - • • sont impairs.
Soit« = 3, on aura i±±.i+i. . . =^=f; il en résulte « = 5,
et '-g—. . • =g=|i ^onc 6=3, et l'un des nombres cherchés est 2'. 3.5= 120.
ï«» supposition n =-- 4 conduit à une impossibilité. Soit donc n = 5,
on aura — ^ ^— . . . =^=^; soit a = 3, 6=7, on aura. . .
!—I . . . =-j-^= 1 ; donc il n'y a pas d'autres nombres premiers que
3 et 7 à employer, et on aura le second des nombres cherchés = 2^.3.7 = 672.
Les cas de n = 6 et n = y ne donnant aucun résultat, soit n—8,
1 -4- a 1-1-6 . 0 on aura — ^ g— . . .=^-^; soit «=7, 6 = 73, on aura
Y —y— • • =F^4=3^&oltY==:37»*= »9»onaura— • ' -=5; d'où résulte enfin 1 = 5 , et le nombre cherché N = a* . 5 . 7 . 1 9 . 37.73. On vérifie immédiatement ce résultat par la formule générale d'où résulte la somme des diviseurs =(a'— 1)6. 8. ao. 38. 74== a*. 3. 5. 7. 19. 37. 73 = 3 N.
