QUATRIÈME PARTIE

III. Pour avoir un nombre N tel que la somme de ses diviseurs soit quadruple de N, N compris, il faut résoudre l'équation

Soit n— 3 , le second membre sera = ^ ; on aura donc d'abord

« = 5; mais à cause du facteur —, on voit qu'en faisant Ç=3, le

facteur 6* remplacera 6; il faudra donc au lieu de — |— prendre

— m =— , et faire — = j. Soit ensuite y= i3, on fera

^2=^«-, ce qui donnera finalement i=7, et le nombre cherché

En faisant n=5, on trouverait semblablement N=a'.33. 5.7 = 3oa4°> nombre plus simple que le précédent.

IV. Si l'on veut trouver un nombre N tel que la somme de ses diviseurs , N compris , soit quintuple de N , appelant 2" la plus grande puissance de 2 qui divise N, il faudra, suivant la formule générale,

que soit égal au produit de plusieurs facteurs de la forme

I I fit

-~— pour chaque facteur simple a qui divise N, de la forme. . . 1 -ha-f-a'

pour chaque facteur «* , ainsi de suite.

boit «=7,011 aura — ~ «■ — , = tï '7-»

• ' a55 0.17 17 »7 J3 iJ 4°

^=| = ^^-*. Le facteur ~ indique que le nombre cherché est

divisible par 34, ainsi il faut recommencer l'opération et faire. .

64 3.64 n-3 + 3' + 3J + 3« 3.64 „nei%ua »9a i+n+n'ipa T7 = — = v TF> ensuite— = m,

|||= Ces facteurs étant tous de la forme l'opération

est terminée , et le nombre cherché N = a7 . 3* . 1 1 1 . 5 . 7 . 1 7 . 1 9. On trouverait également N = a'.3s.7'.5.i3. 17. 19, nombre un peu plus simple que le précédent.

i/|8 THÉORIE DES NOMBRES.

(47») Proposons-nous maintenant de trouver deux nombres A et B tels que chacun d'eux soit égal à la somme des diviseurs de l'autre, celui-ci non compris. Nous supposerons pour faciliter la solution, que ces deux nombres sont ainsi représentés A = 2" y, B=a"aê, a, €, y étant des nombres premiers. Et puisque la condition du problème exige que la somme fies diviseurs de A et celle des diviseurs de B soient égales, l'une et l'autre, à A + B, nous aurons la double équation

De là on tire premièrement 1 4- y = ( 1 + a) ( 1 4- 6 ) , ou y =a -I- € -I- a 6 ; ensuite « 6 — (2" — 1 ) (« -4- 6) = a""1- ' — 1 . Celle-ci peut se mettre sous la forme

Ainsi toute manière de partager a'" en facteurs inégaux semble devoir donner une solution.

La première qui se présente consiste à faire

a — a"-+-i=2""'l . , I at=3.2"~' — 1

ce qui donne m f> — a"+ 1 =a~*" ) | 6 = 3.2- — 1

et il en résulte y = g. a1"- ' — 1.

Mais pour que la solution soit admissible il faut que les trois nombres a, 6, y, ainsi déterminés , soient des nombres premiers. Si on donne maintenant à m les valeurs successives a , 3 , 4 > etc. , on aura les résultats compris dans le tableau suivant :