QUATRIÈME PARTIE

ao4gn

ia

4yi5i

4gi5 1

On voit que les nombres 2,4,7 pris pour m sont tels que les valeurs qui en résultent pour et, g, y, sont des nombres premiers, ce qui donne les trois solutions comprises dans la colonne des A et dans celle des B. Mais ce même tableau continué jusqu'à m=i5 ne donne aucune autre solution.

Pour avoir une autre formule de solution, revenons à l'équation

Elle peut en général se partager en deux autres comme il suit :

d'où résulte

i5o THÉORIE DES NOMBRES

Le nombre jx qui reste arbitraire dans ces formules doit être impair, car s'il était pair , la valeur de y serait en général de la forme p* — i , et ne serait par conséquent pas un nombre premier.

On a déjà fait jt=i; on ne peut faire [t = 3, parce qu'alors at* + i étant 9, il y aurait toujours une des valeurs de « et ê comprise dans la forme p' — i qui n'appartient qu'à un nombre composé.

Soit donc p. = 5 , et on aura les formules

Si on fait m =8, on aura « = a63, €=8447, y = aa3oa7i ; mais il n'en résulte pas de solution , parce que y est divisible par 463. Quelques autres essais sur la valeur de m n'ont pas en plus de succès. Enfin si l'on fait {1 = 7, on aura les nouvelles formules

ê= 1 29 . ■im — 1

Soitm=8, on aura «=a57, 6=£3oa3, y=85aoi9i, de là résultera une solution si y est un nombre premier, car tes deux autres le sont; cette solution serait A = a*y, B=a' *6.

Les problèmes dont nous venons de nous occuper sont du nombre de ceux sur lesquels les géomètres s'exerçaient du temps de Fermât, c'est-à-dire vers le milieu du 17e siècle. On en fait mention ici parce que la méthode de les résoudre n'est pas généralement connue. Voyez à ce sujet le tom. III des Lettres de Descartes, et l'écrit intitulé Influence de Fermât sur son siècle, par Genty.