QUATRIÈME PARTIE. i6r

la propriété du précédent, relative à la différence des nombres semblablement placés. Pour la lui conférer, il faudrait former la partie supérieure du tableau en ajoutant 3a aux nombres de la partie inférieure et plaçant ces nombres dans un ordre inverse.

(483) Si l'on voulait savoir combien le problème proposé peut avoir de solutions , voici un moyen qu'on pourrait employer dans cette rechercbe, qui est d'une nature très-difficile. Nous avons trouvé au moins 5o marches qui donnent chacune deux solutions , et ces 5o marches peuvent être assujéties à la notation de l'art. 478 qui les distinguera de toutes les autres. Supposons que par des procédés semblables on forme un nombre de marches beaucoup plus grand que 5o et assujéties à la même notation. Soit ce nombre =«, et soit N le nombre de toutes les marches possibles qui, étant différentes les unes des autres satisfont toutes au problème. 11 arrivera nécessairement, lorsque n sera suffisamment grand , que parmi les n marches trouvées, il y en aura quelques-unes qui seront égales, de sorte que le nombre n se réduira à « — a marches différentes.

Cela posé on trouve aisément l'équation ^jp= 1

d'où résulte N = — , valeur d'autant plus approchée que n sera plus grand.

— ~~ > — — minmiiimi

Usage de l'analyse indéterminée dans la résolution de l'équation x" — i = o, n étant un nombre premier.

(484) Si l'on écarte du premier membre le facteur x — i ,et qu'on

fasse

on sait par le théorème de Côtes que le polynôme X a pour facteur général x' — a arcos.^p -+- i , k étant un nombre quelconque nondivisible par n; de sorte qu'en donnant à k les valeurs successives i , 2, 3,. . . '-{n — i), on aura tous les facteurs dont ce polynôme est compose.

Les connaissances des Analystes sur la résolution de l'équation v" — i = o, étaient presque réduites à ce seul théorème, lorsque M. Gauss publia son excellent ouvrage intitulé Disquisitiones Arithmeticœ , où l'on trouve une théorie nouvelle et très-complète de la résolution de la même équation, ou, ce qui revient au même, de la division de la circonférence en n parties égales.

Comme cette théorie est une des applications les plus intéressantes de l'analyse indéterminée, et qu'elle conduit à des résultats très-curieux, nous avons cru faire plaisir à nos lecteurs, en l'exposant ici avec de nouveaux développements.

(485) Si on appelle r l'une quelconque des racines imaginaires

de l'équation .r"—i=o, c'est-à-dire, si l'on fait r=cos.^-^4-

1/ — i siii.^— ^. /• étant un nombre quelconque non-multiple de n, toutes les racines de cette équation seront r, r\r' r"; des-