CINQUIÈME PARTIE. iO

quelles séparant la racine /•" = i , il restera pour les racines de l'équation X = o, ces n — i valeurs :

En général donc ra sera une racine quelconque de l'équation X = o; pourvu que * ne soit ni zéro ni multiple de n.

Avec cette restriction il n'y a que n — i valeurs différentes comprises dans l'expression x = r*; car si on avait « — nk + iy il est dair qu'on aurait r" = r', puisque r*= i ; et par la même raison, on

aurait aussi r~"= rn -B=r*"-*.

D'ailleurs on prouve aisément que les n — i valeurs précédentes

sont différentes entre elles ; car si on avait ra= rê, « et é étant plus

petits que n, il en résulterait r'= i , < étant ± (a — g) et par conséquent plus petit que n. Mais comme n est un nombre premier, les deux équations r'— i , r«= i , ne sauraient avoir lieu ensemble, à moins qu'on n'eût r— i , ce qui est contre la supposition.

(486) Cela |)osé , le polynôme X peut être mis sous la forme

Et comme on peut mettre r1 , ou en général ra au lieu de r, on aura aussi

et en général,

X = {x— r%v — r 3 *) (x - r3at) (x — r" * ~ ").

Donc puisque le second terme du polynôme X a pour coefficient -t- i , on aura

o=r i + r + r' -+- rJ -+- + r'" ,

et en général ,

o=i+r +r -f- r -f- + rv y ;

équations qui ont lieu sans désigner celle des racines de l'équation X = o qu'on prend pour r.

(487) 0 Théorème. Soit ç(r, s,t, u, etc.) une fonction rationnelle « et entière (1) des racines rys, t, etc. de l'équation X = o,ou seu- « lenient de quelques-unes d'entre elles ; si dans cette fonction on « substitue successivement, au lieu des racines r,j,ï, etc., leurs « carrés, leurs cubes, et ainsi jusqu'aux puissances de l'ordre n, « lesquelles se réduisent toutes à l'unité ; je dis que la somme des n « fonctions ainsi formées,

« <p (r , s , t , etc.) -+- 9 (r* , s' , f% etc.) -*- + 9 (r" , y , f , etc.) ,

« sera égale à un multiple de n. »

En effet, chaque terme en particulier de la fonction 9 étant de

la forme A r j fY. .., et les racines j , £, u, etc. étant des puissances déterminées de l'une d'elles r, il est clair que ce terme se réduira toujours à la forme A re, où l'on peut supposer t < n. Ponc la fonction entière <p(r, s, t,u, etc.) se réduira à la forme

A' + AV+A"V + Awr— .

Si Ton met ensuite r' à la place de r, ce qui change en même temps s en .f', f en f , etc., la fonction y(r\ s\ t*, m', etc.) sera représentée par