A'+ AV + A"V A

et en général la fonction <p(r", j", f", etc.) le sera par

A' -f- A"ra + A"'ract -t- A<" ~ 1 ) "

Donc la somme de toutes ces fonctions jusqu'à ç(r", j", f, etc.) inclusivement, sera

(t) On appelle /onction rationnel/g et entière des quantités r, f , /,'«, etc. toute

fonction composée de tant de termes qu'on voudra , de la forme Ar * r , etc., A étant un entier.

-f- Aw(r— ' 4- r"~ * + r1"-5 -+ r""-"),

quantité qui se réduit à «A' (n*486), et par conséquent est un multiple de n.

Il est bien à remarquer que <;e théorème a lieu , quel que soit le nombre des racines r, s , t, etc. qui entrent dans la fonction 9.

(488) Théorème, a Si le polynôme Z=aT-f- Aaf"" + Bj"-' + « Cxm~i + etc. , dans lequel les coefficients A , H, C , etc. sont entiers, «est divisible par le polynôme P=.r" -4- axm~' + bx*~'+ etc., dont « tous les coefficients a, b , c, etc. sont rationnels; je dis que oes « derniers doivent aussi être des nombres entiers. »

Car après avoir réduit tous les ternies de P, excepté le premier

or", à un même dénominateur , soit ce dénominateur = a*4 A, a** étant la plus haute puissance de l'un des nombres premiers qui en sont diviseurs; on pourra supposer (n° i4),

ly,P", V" étant des polynômes en x dont tous les coefficients sont entiers, le premier du degré n commençant par x" , les deux autres du degré n — 1 au plus. Si on appelle Q le quotient de Z divisé par P, on pourra faire semblablement

Cela posé, le produit PQ devant se réduire à un polynôme dont tous les coefficients sont entiers, il faudra que le terme — ^- dispa-

raisse de lui-même, puisque les autres n'offrent dans leurs dénominateurs que des puissances moins élevées de «. Donc l'une au moins

i7o THÉORIE DES NOMBRES,

des quantités F et Q" est nulle : ce ne peut être P*, puisque P contient et*4 dans ses dénominateurs; donc on a Q"=o, donc a ne se trouve pas dans les dénominateurs de Q. La même chose peut se dire des autres nombres premiers qui entreraient comme diviseurs dans les coefficients de P. Donc le quotient Q ne contient aucune fraction et doit être une fonction entière. Cela posé on aura. . . P"0 P'" Q

Z = PQ=IyQ H j= -4- — r-S; mais puisque Z est une fonction en-

tière, il faudra que — en soit une aussi; or d'une part la fraction

— est censée irréductible , d'autre part le quotient Q, dont le premier

terme est a?"-' , n'est point divisible par a**. Donc le polynôme P ne peut contenir dans ses coefficients aucun terme fractionnaire.

(489) Théorème. « Le polynôme X, dans lequel n est toujours « supposé un nombre premier, ne peut se décomposer en deux « facteurs rationnels. »

Car supposons que le polynôme X du degré n — 1 , ait pour facteur le polynôme de degré inférieur

P=.rv4- ax*~ 1 + bx~7 + hx + k,

il faudra, par le théorème précédent, que tous les coefficients a, b, c, etc. soient des entiers. De plus on peut observer que v doit être pair et k positif; car si ces conditions n'avaient pas lieu à-la-fois, l'équation P=o aurait au moins une racine réelle, laquelle serait aussi une racine de l'équation X = o : or on sait que celle-ci n'a que des racines imaginaires.

Soient r, s, t, u, etc. les racines de l'équation P = o, en sorte qu'on ait l'équation identique

P=s (a: — r) (x — s) Çx — t) (x — u) etc. ,

le nombre des facteurs x — r, x — s, etc. étant v. On peut donner une valeur quelconque à x dans cette équation; soit donc x=z 1 ,