CINQUIÈME PARTIE. 171 et appelons p' ce que devient P; nous aurons

/>'=(!— r)(i—s)(i—t)(\—u) etc.

Le nombre p' aura aussi pour valeur 1 + a + b + c + etc. , et ainsi il sera entier ; de plus , il devra être positif, puisque toutes les racines r,s ,t, etc. sont imaginaires.

Au moyen de l'équation P = o, dont les racines sont r , s , t , u , etc. ,

il est aisé de former une autre équation P^=o, dont les racines

soient r", sa, r", etc.; et parce que les coefficients du polynôme P sontentiers, le premier étant = 1, ceux du polynomedu même degré

P ^ seront pareillement entiers , ainsi qu'il résulte des formules connues. Donc si on fait x= 1 dans chacun des polynômes P^ , et que les nombres résultants soient successivement

p' =(1 — r') (1 — s*) (1 —V) (1 — «*) etc. — rJ) (1 — f) (1 —r3) (1 — ii») etc.

^<~>=(i— r— *'-)(!— t-')(i —m"-) etc.,

il est clair que tous les nombres p',p\p"\. . '> seront des entiers positifs.

Maintenant si on multiplie toutes ces équations entre elles, et qu'on observe que par l'équation X=(a; — r) (x — s)(x — £), etc., on a pour chacune des racines r , s , t , etc.

etc.

le produit sera

Mais puisque toutes les quantités p' ,/?",. . . .//—'sont des entiers

i7a THÉORIE DES NOMBRES.

positifs, et que leur nombre n — i surpasse v, il faut , pour que leur

produit soit n , que quelques-unes d'entre elles soient égales à n ou à une puissance de n, et que d'autres soient égales à l'unité. Le nombre de celles-ci ne peut être moindre que n — i — v; si on l'ap- |>elle X\ il est clair que la somme p +p' + p . . . . -f- p'"~li sera de la forme X A /t. Or on a démontré (n" 487) que la même somme, en y comprenant pim) , qui est zéro, est un multiple de n. Il faudrait donc qu'on eût X- + A/i=B«, équation impossible, puisque X- est <v et > « — 1 — v, ou =n — 1 — v. Donc si P est diviseur de la fonction X , les coefficients de P ne peuvent être des nombres entiers. Donc la fonction X ne peut avoir que des facteurs irrationnels.

Hemarquc. Ce théorème n'aurait pas lieu si n était un nombre composé ; en effet soit n = « ê , a et 6 étant deux nombres i m pairs, premiers

ou non premiers, on pourra faire X = — = X 1 - — ^— . Ainsi ■ • x — 1 x — 1 *

en appelant P le polynôme x -4- x -+- etc. égal à — et Q

, . atê — a aê — aa . • . x% — 1

|e polynôme x + x -t- etc. égal a — , ou aura. .