PQ

(4<)o) Puisqu'il est démontre que le polynôme X ne peut avoir aucun facteur rationnel, n étant un nombre premier , la résolution de l'équation X = o ne peut se faire qu'en décomposant X en facteurs irrationnels. Or la théorie que nous allons exposer, d'après M. Gauss, a pour but de démontrer cette proposition très-générale :

« Ayant décomposé n — l en facteurs premiers at A, r, etc., de

« sorte qu'on ait n — \=t*h eT,ete., je dis que la résolution d« « l'équation X=o, ou, ce qui revient au même, celle de. r 1 =o, « pourra toujours se réduire à la résolution de plusieurs équations « de degré inférieur, savoir: « équations du degré a, 6 du degré A, « y du degré c, et ainsi de suite.

Par exemple, si l'on a 11= j'\ , > c qui donne // - 1 = î\ H\ la ré-

CINQUIÈME PARTIE. i;3 solution de l'équation x:i— i =o s'effectuera moyennant trois équations du second degré et deux du troisième.

Si l'on an — 1 7 , ce qui donne n — 1 = a\ la résolution de l'équation jc': — 1=0 se réduira à celle de quatre équations dn second degré, On peut donc diviser géométriquement la circonférence en dix-sept parties égales, ce qu'on était loin de regarder comme possible avant la démonstration de M. Gauss.

En général , si le nombre premier n est de la forme a" + 1 , on pourra réduire la résolution de l'équation 1=0 à celle de m équations du second degré; il ne faudra même que m — 1 de ces équations , s'il s'agit de la division du cercle en n parties égales.

Observons que a" -+- i ne pourrait être un nombre premier, si m était impair ou qu'il eût seulement un diviseur impair , car a1'"*" -1- 1

a pour facteur 3, et 2 + 1 a pour facteur a + 1 , si € est impair. Donc a" -+- 1 ne ]>ourra être premier que lorsque m sera une puissance de 2, et cependant il ne sera pas premier toujtes les fois que m sera une puissance de 2; car il y a exception lorsque /«=as— 3v..

Après les cas de m = 1 , a , 4 , qui sont déjà connus, si l'on prend celui de /« = 8 , il en résulte n = 2" ■+■ 1 = 337 , qui est un nombre premier. Donc on peut diviser géométriquement la circonférence en 267 parties égales , ce qui se fera au moyen de sept équations du second degré.

La division géométrique peut se faire aussi en a55 et a5f> parties, puisque 255=3.5. 17 et 256= 2"; de sorte que les trois nombres consécutifs a55, 250, 2 57, ont la propriété de diviser géométriquement la circonférence. Dans les nombres inférieurs, il faudrait descendre jusqu'à i5, 16, 17, pour rencontrer une semblable propriété.

Et parce que 2's-t- 1 = 65537 est aussi un nombre premier, si on remarque que a'6 — 1 =(2* — 1)= a55.a57, on verra que

les trais nombres consécutifs 65535, 65536, 65537 » quoique trèsgrands, jouissent encore de la même propriété. Mais on ne peut continuer immédiatement cette suite, parce que 2J> 4- i n'est pas un nombre premier.

i74 THÉORIE DES NOMBRES.

(491) Toute racine de l'équation X=o pouvant être représentée

par r*, « n'étant ni zéro ni multiple de n , nous désignerons cette racine par l'expression abrégée («). Cela posé, deux racines («) et (ê) seront les mêmes si a — ê est divisible par n, et différentes s'il n'est pas divisible. De plus, il suit de l'origine de ces racines que le produit (a) x (g) ={a 6) , et que la puissance (a)"= (m a) , propriétés analogues à celles des logarithmes. On observera aussi qu'on a (o) = 1 , (n) = 1 , et en général (k n) = 1 , puisque ces expressions représentent r*,r",r*", qui sont égales à l'unité.

Toutes les racines de l'équation X = o sont représentées par la suite (1), (a), (3). . .(n — 1) ; mais comme au lieu de r on peut prendre

en général ra, pourvu que « ne soit pas divisible par n , ces mêmes

racines seront représentées par la suite (a), (2a), (3a) . . .(n — 1 .a), qui ne différera de la première que par l'ordre de ses termes.

{492) Considérons maintenant l'équation indéterminée

z'" — 1 = CM>(h) dont le second membre désigne un multiple quelconque de n ; on sait que les n — 1 racines de cette équation, supposées positives et moindres que n, sont la suite des nombres naturels i,2,3.. .n — 1 ; on sait en même temps qu'il est toujours possible de trouver un nombre g dont les puissances successives donnent toutes les racines de la même équation ; de sorte que la suite g'ig'- • •£"*-,>ou ce qui revient au même, la suite 1 }g, e>,. . .g-"-', donne, en omettant les multiples de n, les mêmes termes qui sont contenus dans la suite 1 , 2, 3. . .rc — 1 , mais rangés dans un ordre différent (1).

Ce nombre g qui, rapporté au nombre premier n, se désigne

(i) On peut conclure de là qu'en omettant les multiples de n le produit g' g1 g1 gn~ ', ou g^n(n~x) est égal au produit 1 .a. 3. . .n — 1. Mais puisque par la propriété du nombre g on doit avoir (n~ *':= — 1 , et par conséquent g~>n ('* — •)"— — 1 > 'I s'ensuit que le produit 1 . 2. 3. . .n — 1 augmenté de l'unité est divisible par n, ce qui est le théorème de Wilson (n° i3o).

tous le nom déracine primitive, est tel qu'on a g'~ '= i et qu'aucune puissance de g, dont l'exposant est moindre que n— i , ne peut se réduire à l'unité, en omettant les multiples de n. Et comme n — i

est un nombre pair, la même propriété exige qu'on ait g7^n ~ i et qu'aucune autre puissance de g dont l'exposant est moindre que ±(n — i), ne puisse se réduire à — 1 par l'omission des multiples de n.

(493) Cela posé, « étant un nombre quelconque non-divisible par n, on pourra toujoursjtrouver un exposant ji tel que c'està-dire, tel que g^ — « = jil(/i). Car le nombre « diminué, s'il y a lieu , du multiple de n qu'il peut contenir, est compris dans la suite gig'tg9- • équivalente , quant aux restes delà division parw , à la suite 1 , a , 3. . .n — 1.

Au moyen de la racine primitive g, on peut donc exprimer toutes les racines de l'équation X — o par (a) , (ag) , (*g*) • . . (*g*~*)y * étant

un nombre quelconque non-divisible par n, car en faisant *—gP, cette suite devient

et parce que le terme suivant *) -gn l)=(#'1)»

on voit que cette suite est circulaire ou rentrante sur elle-même , et qu'on peut la commencer par un terme quelconque, de sorte quelle est équivalente à la suite (g),(g'),(g )• . -(éT"-')-

(4q4) Ces mêmes racines seraient également exprimées , mais dans un ordre différent, par la suite (a), (a G), (a G'),. . .(aG*~*), si G était une autre racine primitive de l'équation z'~' — i=3iL(«). Or on sait (n*34i) que pour un même nombre premier n, le nombre des racines primitives qui satisfont à l'équation z'~' — 1 =ai (n) , est toujours le même que celui des nombres premiers an — 1 et plus petits que n — 1 . Ainsi pour n = 4 1 il y a 1 G de ees nombres, savoir : 6,7, n, ia; i3, i5, 17, ig;aa,24, 26, a8; 29, 3o, 34, 35; ils st déduisent tous des puissances de l'un d'eux en omettant celles dont

i7(i THÉORIE DES NOMBRES,

les exposants ont un diviseur commun avec n — i ; ce sont dans it* cas les puissances dont l'exposant est impair et non-divisible par 5 (i).

-495) Soit k un diviseur quelconque, premier ou non premier, de n — i , en sorte qu'on ait « — i =^mk; si à partir d'un terme quelconque {gx) de la suite ( i ), (g), {g') . . . (g-"-»), comprenant toutes les racines de l'équation X — o, on forme une nouvelle suite :

rette suite ou période composée d'un nombre m de termes, pourra toujours être regardée comme circulaire ou rentrante sur elle-même,

puisque le terme (g^ "** m ) qui suivrait le m"m4 terme , est égal au premier (gx),en vertu de l'équation conditionnelle gmh=gn~ l =

On peut donner à X toutes les valeurs depuis i jusqu'à k, on aura ainsi un nombre k de périodes composées chacune de m termes. Appelons en général (m : g*) la somme des m racines qui composent la période dont g* est le premier terme, nous aurons successivement

{** + (gl +k) + {g1 +a*) Hgx +mk~k)

(m-.g')=<g')Hg:i+k) + (g2^k) Mg2+mk-k)

(»' : g*) = {gi)Hg* + k) + (g***') +(g* + mk-*)

(« : g*)=lg*) + ig*k) + igZk) Hgmk)-

Il est visible que les k périodes, composées chacune de m termes ,

' i '; Voici , d'après Eulcr , la plus petite valeur de /y pour tous les nombres premiers de 3 à 41-

«I 3, 5, 7, n, i3, 17, io, a3, ao, 3t , $7, 4» ?\ a, a, 3, a, a, 3, a, 5, a, 3, a, 6

CINQUIÈME PARTIE. 177 comprennent toutes les racines de 1 équation X=o, puisqu'on y trouve tous les termes de la suite (g), (g'), (g*). ■ •(gp"~')î et Ulle décomposition semblable aura lieu pour toutes les autres valeurs de m et de k dont le produit mk est égal au nombre donné n — 1 .

Il est essentiel de remarquer que si (a) et (€) sont deux termes d'une même période, cette période désignée par (m : a), peut l'être aussi par (m : €); car puisque toute période est rentrante sur ellemême, un terme quelconque peut être regardé comme le premier. C'est tinsi que la période désignée par (m : g*) dans le tableau précédent, peut l'être également par (m: 1), parce que son dernier

terme gm =xgn~I= 1 , ce qui donnera pour l'expression de la même période

(m : .) = (i) + (g*)+g**). . . +{gmk-k)-

(/19G) Ces propriétés relatives à la racine primitive^ ont lieu également par rapport à toute autre racine primitive G ; mais ici il se présente une question à résoudre : c'est de savoir si , en conservant les mêmes facteurs m et k dont le produit — n — 1 , les k périodes

désignées par {m : G**) seront les mêmes que les k périodes désignées par (m :g'). Voici comment l'affirmative peut être démontrée. Proposons de comparer entre elles les deux périodes

(m :G^)= (C/) + (G<A+*) + (G**4"2*) 4- (G^ + mk~ k).

Pour cela j'observe (l'abord qu'on peut supposer G=ga, a étant

un nombre premier à mk; ensuite si on veut avoir Gv,=gX+** ou

gaP=gX + *y,il suffira de satisfaire à l'équation X=«|a— #v, c'està-dire de diminuer le nombre donné a(t du multiple de k qu'il peut contenir, et le reste sera la valeur de X. On trouve donc ainsi une

valeur de X telle que la racine donnée (G1*) coïncidera avec la ra-

cine (g ). On trouvera de même que toute autre racine II. a3

i7S THÉORIE DES NOMBRES.

(G*******), comprise dans la période (m : G1*), coïncidera avec ime des racines comprises dans la période (m : g*) ; et puisque chacune de ces périodes est composée d'un même nombre de termes inégaux entre eux , si chaque terme de l'une trouve son égal dans l'autre, il faut nécessairement que ces deux périodes soient égales, comme étant toutes deux la somme des mêmes termes disposés dans uti ordre différent.

Appliquant le même raisonnement aux autres valeurs de ji, on en conclura que les k périodes de m termes formées d'après la racine primitive G , ne diffèrent des k périodes semblables formées d'après la racine primitive g, que par l'ordre qui peut varier tant dans les périodes entre elles que dans les termes qui composent chaque période.

(497) Toutes les fois que m sera un nombre composé, ce qui permettra de faire mtetm'*', chaque période de m termes telle que (m : £x), pourra être décomposée en un nombre k' de périodes de /«' termes, désignées par (m'igr-), en donnant successivement à ^ toutes les valeurs 1 , a, 3. . .k'. Il faut concevoir pour cet effet que les m termes qui composent la période (m savoir,

(gX) + (ff1 + *) + (£X+ "*)• • • • + (gX + m>-*) ,

sont pris de deux en deux si k'^2 , de trois en trois si X' = 3, etc., ce qui formera les périodes partielles au nombre de k' , comme il suit :

(«f = rt=*Uh + tt** ™) + tf* **'*)•■ - Hey +"*-**)

(m^^+*'*-*}=^\+*'*-*) + (^ + a*'*-*)... + (^X-1-'"*-*). On voit de même que si m! est encore un nombre composé et qu'on

fusse m' sa m" k" , chaque période de m' terme» pourra se décomposer en k' périodes de m termes, et ainsi jusqu'à ce que le dernier terme de la série décroissante m , m\ m", etc. soit égal à l'unité. Dans cette limite la période se réduira à un seul terme , qui sera l'une des racines de l'équation proposée X = o.

(498) Au reste comraen — 1 est toujour&un nombrepair,la formation des périodes pourra toujours être dirigée de manière que les dernières périodes à déterminer soient celles de deux termes , lesquelles contiendront toujours deux racines réciproques l'une de l'autre , en sorte que(a : a) étant une de ces périodes, on aura généralement

(a : *)s= ra + rn~tt=r* r~x. On aura ainsi l'avantage de n'avoir à résoudre dans le cours de l'opération que des équations dont toutes les racines sont réelles. Enfin connaissant par la dernière équation la valeur de la période (a : a) par exemple , laquelle pourra toujours être représentée par acos. (t, on aura l'équation

ra + r "=acos.pi, d'où l'on tire r"=cos.jt -+- 1/ — tsin.p; et cette valeur d'une des racines de l'équation X = o suffit pour trouver toutes les autres représentées par la formule x^(co$.\l-{-\/ — isin.p.)* 5= cos. /• f*. -+- \/ — 1 sin. /• |A , k étant un terme quelconque de la suite 1 , a, 3. . .n — 1. On sait d'ailleurs que p. sera toujours un multiple 1 217

(499) L'ordre des opérations qu'on vient d'indiquer est fondé sur ee que dans tonte période (« : «) on m est pair et dont la valeur développée est (1)

(m : «)=(«) + («/) + *).... + {*Smk~k) ,

le terme («) est toujours accompagné du terme («£•• ), qui est le

(1) Cette formule, comprise dans celle de l'art- 497» 691 P*00** * représenter toute période formée directement ou déduite d'autres périodes par des décompositions successives; car les nombres m et k peuvent être variés de plusieurs manières avec la seule condition que le produit mk=n — 1.

i8o THÉORIE DES NOMBRES.

même que ( — a) , puisque g7 = — i, c'est-à-dire qu'on trouve

à-la-fois dans la même période les deux termes ra et r~ qui sont réciproques l'un de l'autre. Et ce qui se dit du terme (a) peut s'entendre de tout autre terme de la période , puisqu'on peut prendre un terme quelconque pour le premier. Donc toute période (m : a) dans laquelle le nombre m est pair, est composée de deux parties, telles que les termes de l'une sont les compléments ou les réciproques des termes de l'autre.

(5oo) Il reste maintenant à faire voir comment on peut former l'équation qui a pour racines les k différentes périodes désignées par (m : «), ainsi que les équations qui servent à déterminer les périodes décroissantes (m : «), (ni: a), etc. C'est ce qui deviendra facile au moyen du théorème suivant, dont l'importance est trèsgrande dans ce genre d'analyse.