THÉORÈME FONDAMENTAL

« Soient (ni : «),(/« : 6) , deux périodes semblables ou d'un même « nombre de termes, mais d'ailleurs égales ou inégales; le produit

« de ces deux périodes étant nommé n , on aura, en faisant / == '-^^ « et A =g* ,

a II=(m:«+6)+(JK:«A + e)4-(m:aA' + 6). . . +(m :«A— *+ é),

« c'est-à-dire que le produit II sera égal à la somme des périodes « semblables qui contiennent les termes (« -+- 6) , (a h -+- 6) , (a A' + € ) « . ..(«A— * + *). »

En effet le développement des termes contenus dans les deux périodes proposées donne

Or le produit de ces deux polynômes peut être disposé de la manière suivante, d'après la formule («) x (£) = (* + ê),

(«+*) + {«A + ê) + («AN- €). . . + (aA~'-t- 6) +(«A + 6A) -+- («À*+ 6A) + («A» -4- 6A). . . + («A" -t- 6A) + (aA'+ 6A') -f- («A1 + g/*') + («A* -1- 6 A').'. . + (« A—' + .6 A»)

+(«A— *+eAT-)+(«A-'4reA— O+CaA^'+eA— )- . .+(aA"— + 6A— ').

Prenant la somme des différentes colonnes verticales qui forment chacune une même période von aura le produit cherché

II — (m : « + é)+ (m : ah + G) + (m : aA'+ é). . . +(m : a A— '+ ê).

l/es diverses parties dont le produit n est composé se réduiront toujours soit à la période (m : o) ou (m : n) dont la valeur est m puisqu'elle représente la somme de m termes égaux à r'ou r" , soit à l'une des périodes (m : 1 ), (m : #) , (m :g'). . . (m:g1-'); ainsi on aura en général

n = A m + A' (/« : 1) + A" (m : #)+ A'"(w : g") + etc.

Et comme le nombre des périodes comprises dans le produit n est m , on devra avoir aussi la somme des coefficients

A -+- A' + A"-f- etc. = m ,

ces coefficients étant des entiers positifs ou zéro.

(5oi) Le produit de deux quantités de la forme {m : a) pouvant toujours se réduire à la somme de plusieurs quantités de la même espèce, il est clair que le produit d'un nombre quelconque de ces quantités, et par conséquent aussi leurs puissances et les produits de ces puissances, se réduiront toujours à une expression linéaire telle que Am+A' (m : 1) + A" (m : g) + etc. , les coefficients A , A' , A", etc. étant des entiers positifs ou zéro.

Donc si une fonction F est composée de plusieurs termes tels que

N if v . . . , où N est un entier et dans lequel f \ ifi , v*. . . désignent

18a THÉORIE DES NOMBRES.

des puissances quelconques des périodes i = (#« : à), u=s{m : €), v = (m : y) , etc. prises à volonté parmi les k périodes de m termes qui comprennent toutes les racines de l'équation X=o; cette fonction se réduira de même à la forme A m +A'(m : i)+ A" (m: g) + etc., où les coefficients A , A' , A", etc. sont des entiers.

Si ensuite au lieu de t, u , v , etc. on substitue les périodes [m : /a), (m:i€),(m:iy), etc., i étant un entier quelconque non-divisibk* par n, le résultat sera A m -f- A' (m : i) -+■ A' [m : ig) + etc.; car le changement dont il s'agit se fait en substituant simplement r'à r, au moyen de quoi toute racine de'signée par (a) devient (i a).

Imaginons qu'on donne successivement à t tontes les valeurs (m : a), (m : <tg) , (m : a g1), etc. qui forment la suite des k |)ériodes de /n termes», en commençant par le terme (m : a); qu'en même temps u prenne les valeurs successives (m : ç) , (m : ^),(pt! 6g-*), etc. , et v les valeurs (w.y), (m :y#), (m :yg*),etc., ainsi de suite, ce qui donnera k différents résultats dans lesquels chaque quantité t, u, v, etc. aura pris les k différentes valeurs dont la période de m termes est susceptible; la somme des k valeurs de la fonction F résultant «le toutes ces substitutions sera

A*m + A'/ {m : i) + A"f(m : g) + A,Mf{m : g*) + etc.

Dans cette formule/Ym : i) représente la somme (les k périodes (m: i ) •+• (m : g) + (m : g*) . . . -t- {m : g'-') , laquelle est égale à — i ; les autres sommes semblables/(m : g) ,f(ni : g') , etc., composées chacune du même nombre de périodes, ont toutes la même valeur. Ainsi la somme des fonctions F est en général Akm~- A' — A" — A'" — etc. , de sorte qu'elle est toujours égale à un nombre entier déterminé.

(5oa) Telle est donc la propriété des racines de l'équation du degré k qui donne les périodes (m : i),(m:g),(m:g*), etc. , qu'étant proposé une fonction Z rationnelle et entière de ces racines ou de quelques-unes d'entre elles désignées par t,u,v, etc., si on imagine que les quantités t,u,v, etc., qui d'abord sont (m: a), (m : 6), (m : y), etc., prennent dans une première substitution les va-

leurs (//# : ag), (ni : €g)t{m : y g) , etc. , dans une seconde les valeurs (m : *g')t (m ; S g*) , (rn : fg*) , etc. , ce qui après k — 1 substitutions aura fait parcourir à chacune le cercle entier des valeurs dont toute période dé m termes est susceptible , la somme de toutes les valeurs de la fonction Z sera égale à un nombre entier facile à déterminer.

(5o3) Si la fonction F des racines t, a, v, etc. de l'équation du degré k , comprend toutes ces racines, et si en même temps elle est telle qu'on puisse échanger entre elles deux des racines à volonté, cette fonction qu'on désigne ordinairement sous le nom de fonction invariable , se déterminera immédiatement, puisqu'alors on peut mettre rgk la place de r , sans rien changer à la fonction , et qu'ainsi la valeur Am + A' (m : i) -+- A" (m : g) -f- A'" (m : g") -t- etc. devant èire la même que A m + A' (m :g) A" (m: g') + A'" (m :£*)-*- etc., on a A' = A"=A"', etc.; donc la fonction F se réduit à A m — A'.

Ainsi au moyen du théorème de l'art. 5oo, on déterminera facilement en nombres entiers les coefficients de l'équation du degré k qui a pour racines les périodes (m: i),(rn :g). . .(m '.g1"). Cette équation jouit de la propriété fort remarquable qu'une seule de ses racines étant connue, on en peut déduire aisément toutes les autres.

En effet, désignons par p, p\ p'\. . .p'l~x) les périodes (m ; *), (m : ag)y (m : «g"'). . .(m : *^~')» ^ somme de ces quantités étant la même que celle des racines de l'équation X=o, c'est-à-dire — i , on a pour première équation

o— l +p +p' +p' •+ etc.

Si ensuite on développe les puissances successives p*,p\ etc. pour les réduire à la forme linéaire d'après le théorème de l'art. 5oo, on aura *— i autres équations,

p' = a m + a'p -f- a" pt -f- a" p" -h etc. p>= b m + Vp -h b"p' + b"'p" + etc.

p^srscm •+• e'p + c"p -4- c'"p" + etc. , etc.

où les coefficients doivent être des nombres entiers positifs.

Ces équations au nombre de A-, contenant les inconnues pl ,p", p'" . . .p{l~l) sous forme linéaire, on pourra par les k- — i premières équations trouver les valeurs de ces inconnues qui seront toutes de la forme A + A'p + A"p\ . . + A^y*"0; A, A', A", etc. étant des coefficients rationnels. '•' f • .

On voit de plus que si on substitue toutes ces valeurs dans la dernière équation qui donne la valeur de p* , on aura l'équation en p du degré k qui a pour racines les A périodes [m : i) , (m : g) , etc. , ce qui est un des moyens les plus simples d'obtenir cette équation, qui sera toujours de la forme ,

/?' + p'-' -f a p*~* + g//-3 + etc. = o. (A)

(5o4) Il faut faire voir maintenant qu'au moyen des racines «le l'équation (A), le polynôme X peut être partagé en h facteurs du degré m.

Pour cela soit.r" — A.r*--t- B.r-'-CaT,+ etc.=o l'équation du degré m qui a pour racines les différents termes (a), (a//), {ah1). . .(«A—*), dont la somme compose la période {m : et), en sujv posant A = g* , on aura d'abord A == {m : a) , et les autres coefficients B , C , D , etc. de cette équation étant des fonctions invariables des racines (et), (ah), (ah1), etc. seront exprimés dune manière linéaire par les périodes (m : i), (m: g), (m: g') , etc., ou par les racines p,p' ,p" , etc. de l'équation (A).

Le moyen le plus simple de déterminer les coefficiens dont il s'agit est de commencer par chercher la somme des carrés des racines (z) , ( s h) , etc. composant la période (m : a) , puis la somme de leurs cubes , la somme de leurs puissances quatrièmes , etc. Désignons par Sa la somme des carrés de ces racines, c'est-à-dire, la somme des termes ( 2 a), ( 2 a A), (a a A'),etc, cette somme est égale à la période (m : 2 a) ; ainsi on aura Sa = (m :2 a), etc ; on aura semblablement S 3= (m: 3«),S4=(TO'4«)>etc. valeurs qui seront données chacune par une des racines de l'équation (A). Maintenant de ces quantités connues il sera facile de déduire les coefficients A,B, C,D,etc. ,