CINQUIÈME PARTIE. i85 au moyen des formules
À = S, = (m : a) aB=AS, — S, 3C=BS, — AS. + S, 4D=CS, — BS,-t- AS, — S4 etc.
On rendra ensuite linéaire l'expression de chaque coefficient à compter de B par le théorème de l'art 5oo ; ainsi chacun d'eux sera de la forme a + tp 4- -jp 4- $p?' 4- etc. 6,7, etc. étant des nombres entiers, etp,p\p".. étant les racines de l'équation (A) ; on peut même dans cette expression faire disparaître au moins une des racines p , au moyen de l'équation o= î +p-t-p' +p"+ etc.
Cela posé il est visible que l'équation du degré m qui a pour racines les termes compris dans la période (m: a) sera de la forme
o = P 4- Qp -h Rp' + Sp " 4- etc. ,
P étant un polynôme en x du degré m, et Q, R, S, etc. d'autres polynômes de degrés inférieurs dont tous les coefficients sont des nombres entiers.
Si l'on observe ensuite qu'en mettant ah au lieu de et, la période {m : «) ou p devient (m : ah) ou p' , qu'en même temps p' devient/?", et qu'ainsi toutes ces quantités avancent d'un rang, la dernière devenant la première par 1'eflet de cette rotation, on verra que le facteur trouvé de l'équation X=o donnera tous les autres du même rang en avançant les lettres p d'un rang pour passer d'un facteur au facteur suivant. Ainsi les facteurs de X seront successivement
P 4- Qp + Kp' + Sp" 4- etc.
P 4- Qp' 4- Rp"+ Sp" 4- etc.
P 4- Qp" 4-R//" 4- Sp" + etc.
etc.
ces facteurs étant au nombre de k.
Au moyen de ces calculs on décomposera l'équation X=o, du degré n — i ou mk, en k autres équations du degré m; ce qui pourra se faire d'autant de manières différentes qu'il y a de combinaisons pour former le nombre donné n — i par le produit de deux facteurs m et k.
(5o5) Venons maintenant à la subdivision progressive des périodes (m : <*) qui est nécessaire dans la méthode que nous développons pour parvenir à la solution compfète de l'équation X=o. Supposant donc m = ni k' , il s'agit de former l'équation du degré k' qui a pour racines les périodes (ni: «), (ni: ah), (ni :«A')...(m' : ah*— dans lesquelles se décompose la période donnée (m: a), en faisant h=g , et *=:gx. Pour cet effet nous devons considérer les choses sous un point de vue plus général.
Désignons par t , s , u , v, etc. les périodes (ni : a), (ni : ah), (ni : ah'), (ni : ah*), etc. respectivement, et soit 9 une fonction rationnelle et entière des quantités t, s , u,v, etc. ou de quelquesunes d'entre elles ; cette fonction pourra toujours se réduire à la forme linéaire
Am' + A' (ni : «) + A" (m1 : ag) + A!"(ni : ag') + etc. ,
dont les coefficients sont entiers si ceux de la fonction 9 le sont. C'est ce qu'on démontrera comme au n* 5oi , car la suite (ni : 1), (m' : g), (m' : g*) , etc. , prolongée jusqu'à un nombre de termes égal à kk' , ne diffère de la suite (ni : a), (ni : ag) , (ni : ag'), etc. , semblablement prolongée , que par le choix du premier terme , lequel est indifférent dans une suite rentrante sur elle-même.
Maintenant supposons qu'on mette ah à la place de a, et que par cette substitution les quantités t, s, u, v, etc. deviennent u', v, etc. , la fonction 9 devenue 9', sera exprimée par la suite
Am'+ A' (ni :ah) + A." (ni : ahg) + A!" (ni : a h g') + etc.
Une seconde substitution de a A au lieu de a, par laquelle les quantités t' , / , u , v . . . deviennent f", u", v" . . . , changera la fonc-
CINQUIÈME PARTIE. 187 tion 9' en une nouvelle fonction ?" dont la valeur serait
Am'+A'(m' : aA") + A"(jri : «A'^) + A'"(m' : «A'g") + etc.
Continuant ces substitutions jusqu'à ce que le nombre des fonctions '?»?'»?">••• soit k'y la quantité t passera successivement par toutes les valeurs t , t? , f . . . t*—1 des périodes de m' termes qui composent la période (m:«); les autres quantités s,u,v, etc. parcourront également le même cercle , en partant chacune d'un point différent, et la somme de toutes les fonctions ç qui en résultent, étant désignée par S (9), on aura
S(?)= Am'k'
-h A' [(1»' : a) + (m' : ah) + (m : ah") . . .-+■ (m : « A*—')] -+- \"[(m':«g)+(m':agh)+(m':aght). . . +(/»': et^A*'-1)] + A'" [(m' : a^)+ (m' : h)+(rri : «g^A*) . . . -t- (m' : a£"A*—)] + etc,
expression qui se réduit à la suivante,
S(?)= Am -4- A' (m : «) + A"(/» : «£) + A"'(/n : + etc.
Donc la somme des fonctions f s'exprimera toujours d'une manière linéaire par les quantités (m : a), (m : ctg), etc., c'est-à-dire par les racines supposées connues de l'équation du degré k dont nous avons montré la formation.
Il faut remarquer aussi que le nombre des termes qui dans la valeur de 9 pouvait s'étendre jusqu'à kk' 1 , se réduira à k+ 1 au plus dans la valeur de S(<p). Car comme il n'y a que k valeurs différentes pour les périodes de m termes, savoir : (m : a), (m : *g), (m : a g*) ...(m: «g4-'), les termes qui viendraient à la suite, savoir : (m: *g'), {m -.ag* -*"), etc., offriront de nouveau la série (m: a), (m : a g) , etc. , ce qui aura toujours lieu de k en k termes à compter de A' (m : «). Appelons donc B' la somme des coefficients de la période (m : a) , B" la somme des coefficients de la période (m : *g), etc. , on aurait , dans une suite de k + 1 termes au plus , la somme cherchée
S(?)=ATO+Bf(ffi:a) + ïï'(m : %g) + B*" fm : ■+ etc.
(506) Ce résultat qui a lieu pour toute fonction proposée 9 rationnelle et entière des quantités ttsf-u%v... ou de quelques-unes d'entre elles, est applicable à plus forte raison au cas où 9 serait une fonction invariable des k' quantités t,s,u,v, etc. ; car alors le changement par lequel ces quantités deviennent fts\u' , V, etc., consiste à avancer d'un rang chacune des quantités t,s,u,v> etc., de mauière que t se change en s , s en u , u en v , ainsi de suite jusqu'à la dernière, qui reviendrait à la première tx et par cette permutation la fonction 9 restera toujours la même, de sorte qu'on aura 9 = 9' = 9", etc. Donc alors 8(9)=: #9. Il faudra donc diviser par k' la valeur trouvée pour 8(9); mais dans ce cas on peut trouver immédiatement le résultat; car puisqu'en mettant «A ou *g* à la place de « dans la valeur
9= A m' -4- A' (tri : «) + A" (m : a g) h M" {in : a g") etc. ,
cette valeur doit rester la même , il est clair que tous les termes (m':a),(m':ag*)1(ni:<ig*i)...(ni:agit'-i), compris dans cette formule, doivent avoir le même coefficient A' que le premier terme {ni : a) ; que semblablement A" est le coefficient commun de tous les termes (ni: <ig), (ni : ag**1), (ni: agi + l). . .{ni: *gÀy-'+'), qui composent la période (m : *g)\ ainsi de suite. Donc dans le cas où 9 est une fonction invariable des k' racines t, s, u, v, etc. , on aura simplement
9 =Am' 4- A'(m : •) + A" (m : ag) + A"'(m :*g') + ete. ,
cette suite n'ayant au plus que le nombre de termes k + 1 .
(507) Il suit de là I* que pour former l'équation du degré k qui a pour racines les périodes partielles {ni: a), (m' : «A) , {ni : « h') , etc. dont se compose la période totale (m : «), il faudra chercher par les formules précédentes la valeur des coefficients qui sont des fonctions invariables des racines , et que tous ces coefficients s'expri-
meront , comme la fonction 9 , d'une manière linéaire par les périodes (m : «), (m : a g), etc. , c'est-à-dire par les racine* déjà connues de l'équation du degré k.
2° Que l'équation du même degré k' qui a pour racines les périodes partielles (ni: *g),(ni : agft), (m: etc. dont se compose la période totale (m : «#•), se déduira immédiatement de l'équation dont on vient d'indiquer la formation , en mettant simplement dans celle-ci *g à la place de «, c'est-à-dire, en avançant d'un rang dans l'expression de chaque coefficient, les quantités (m : a) , (m : <xg), (m : , etc. , de sorte que si ces dernières sont désignées par p , p ,p'\ etc., ou augmentera d'une unité l'indice de chaque terme, en observant que par cette addition le dernier p{l~''' devient égal au premier p.
On formera semblablement les équations relatives aux périodes partielles qui naissent de la décomposition des autres périodes (m : xg^yim : a g1) , etc.
3" Enfin il suffira de résoudre une de ces équations du degré k' , ou même d'avoir une seule racine de cette équation ; car au moyen de cette racine et de ses puissances on peut déterminer toutes les autres racines, ce qui se démontrerait comme au n" 5o3; mais nous n'entrerons point dans le détail de la démonstration , et nous nous bornerons à donner ci-après les exemples de calcul qui y suppléeront.
(5o8) Après avoir formé les équation» du degré k' qui ont pour racines les périodes de m' termes contenues dans chaque période de m termes , U reste à faire voir comment on tronre pour chacune de ces équations le facteur correspondant de l'équation X=o.
Désignons par A**-' + Bx-'~» — C*«'-3-4-etc. = o,
l'équation du degré m' qui a pour racines les différents termes («), (ah'),(a/ï')y etc. composant la période (m':«); la somme de ces racines est {ni : a), ou pour abréger qx; la somme de leurs carres est {m : a a) ou q% « , la somme de leurs cubes est (m : 3 «) ou g 3 » , ainsi de suite. Ces sommes étant connues , puisque toutes les périodes
igo THÉORIE DES NOMBRES.
q le sont, on en déduira les valeurs des coefficients A, B , C, etc. au moyen des équations
a B=Ay« — 3C = B7,x — A 7,» + 73»
4D=C<7*— By,« + A734 — 7i« etc.
On rendra ensuite linéaire l'expression de ces coefficients par le
théorème de l'art. 5oo ; ainsi chacun d'eux sera de la forme
* + Çq + yq' + $q' + etc. où la suite q, q' , q'\ etc. représente les périodes rangées dans l'ordre naturel (»»' : 1), {m' :g), (m' '-g1) y etc. Donc le facteur de l'équation X=o correspondant à la période (m : a) sera de la forme
P -+- Qq + Rq' 4- Sq" + etc. = 0,
P étant un polynôme en x du degré m' et Q , R , S, etc. , d'autres |M>ly nomes de degrés inférieurs.
Ce facteur fera connaître successivement tous les autres en augmentant d'une unité les indices des lettres q, comme on l'a déjà vu (11° 5o4). On aura ainsi les k k' facteurs du degré m' dans lesquels on peut décomposer l'équation X=o.
Cette théorie s'éclaircira beaucoup lorsque nous l'appliquerons à des exemples; mais avant tout il sera bon de faire voir comment on peut, pour tout nombre premier n=k m + 1, former l'équation du degré k qui a pour racines les périodes (m : a), (m : *g), (m : «g-'),
: <tgk"), en supposant successivement *=a, 3, 4 et 5. Cette rer cherche nous conduira à plusieurs théorèmes d'analyse fort remarquables.
S II. Formation générale de l'équation du degré k pour les valeurs
Premier cas n—im ■+■ i , k=a.
(5og) Dans ce cas la période (am : i) se partage en deux autres
(m : i) = (i) + (s') + {gft + (g') ... +
(m = + (**) + (#')• • • + te"")-
Soient p et ces deux périodes, on aura d'abord p + />'= — i , ensuite pp'=(m : i -4-^)+ (m : i +g*)+(m : i -hgi) . . . + (m : i Comme toutes les périodes de la forme (m : a) se réduisent aux deux (m : i) et (m :£), auxquelles il faut joindre l'expression (m : o) qui n'est pas proprement une période , mais dont la valeur est m , il s'ensuit que la valeur du produit pp' se réduit à cette forme
pp'—Am A'p -h A"p' ,
dans laquelle on aura A + A' + A"=ro, puisque m est le nombre des périodes (m: \ + g)y{m : i-\~gl), (m: i+gs). . .(m: i+g"") qui composent la valeur de pp'. De plus, comme dans cette équation les quantités p et p peuvent être échangées entre elles , on aura A' = A' ; par conséquent />/?'= A/» — A', et A + aA'=m. Il faut maintenant distinguer deux cas selon que m est pair ou impair.
Soit i" m impair; comme on a toujours g"= — i , c'est-à-dire, gm + i =3H.(n) , il y aura nécessairement, dans la suite i +g, i -4-g3, i +gs. . . i un terme = o,et il n'y en aura qu'un, par la
nature du nombre^. On aura donc dans ce cas A = i et A == 7 (m — 1 ), ce qui donne pp'=±(m + 1).
Soit a* m pair ; on aura encore g"= — 1 , et par conséquent il
loa THÉORIE DES NOMBRES.
n'y aura aucun terme égal à zéro dans la suite i +g, i + etc.
Donc on aura A=o,A'=;m, et pp' = — Ltm.
Il s'ensuit que l'équation qui a pour racines p et p' sera
p* +p + '-(m + i) = o , si m est impair ou n de la forme 4* + 3, et qu'elle sera p* + p — \ m= o, si m est pair ou n de la forme 4 * + » Donc on aura
p =— i ±îl/( — «)> si est de la forme 4*+ 3
et
^>= — 4-± 7 1/ (/»■), si n est de la forme 4* •+- i- Dans ce dernier cas la différence des deux valeurs de p est égale
(5 1 o) Soit zT — a 3T-' + ftaT-* — c * + etc. = o l'équation qui a pour racines toutes celles qui composent la période (m : i), on aura le coefficient a = (m: i)=/>; quant aux autres coefficients b, c,d, etc. , leurs valeurs se trouveront par la méthode du na 5o4 , et ils seront tous de la forme B + B> + B" p. De là on voit qu'en
faisant
Z = x" — a af— -4- b x"' — caT-3 -+- etc. ,
le polynôme Z se réduira à la forme Z= P + Qp + R//, où P est un polynôme en x du degré m, et Q , R des polynômes d'un degré inférieur.
Si on considère pareillement le facteur
Z' s= xT—d x — -+■ b'aT-' — é x—1 -+- etc. ,
lequel étant égalé à zéro donne toutes les racines comprises dans la période (m: g), on aura par le n*5o4, Z'=P -+- Qp ' +Rp- H faut maintenant substituer les valeurs de p et de p dans les deux cas déjà examinés.
i' Si h est de la forme 4* +3, on aura p— — \+ x;\/—n, p' — — ~ — 7V/ — n, ce qui donne
z=P— T(Q-»-R) + ^(Q— R)»/— « Z'=x=P-T(Q + R) -HQ—R)!/— «
Mais ZZ'=X ; donc, dans ce cas, on a
4X=(aP-Q— R)'4-«(Q-R)\
a" Si n est de la forme 4* + i , les valeurs de p seront données par les mêmes formules, en y changeant simplement le signe de n; on aura donc alors
4X = (aP-Q-R)--*(Q-R)';
d'où résulte ce théorème remarquable :
« n étant un nombre premier quelconque et la fonction X étant « le quotient de x" — i divisé par x — i,on pourra toujours trouver « deux polynômes Y et Z qui satisferont à l'équation 4 X=Y"* ± n Z' , « le signe supérieur ayant lieu si n est de la forme 4* H- 3, et l'in- « férieur si n est de la forme 4*'+ i* »
Dans le premier cas le polynôme 4 X se décompose en deux facteurs imaginaires (Y 7*\/ — ri) (Y Zl/ — ri) ; dans le second il se décompose en deux facteurs réels (Y -h Zl//i) (Y — Z|//î).
Ce théorème serait peut-être très-difficile à démontrer sans le secours de l'analyse indéterminée ; d'où l'on voit que cette analyse n'est pas bornée aux spéculations sur les nombres , mais qu'elle peut encore être utile au perfectionnement de l'analyse algébrique.
(5i î) Sachant a priori que la fonction 4X peut être mise sous la forme Y* ± /* Z' , il est facile de trouver les valeurs des polynômes Y et Z dans les différents cas. Pour cela on voit d'abord qu'en négligeant les multiples de n on aura Y1 =4 X ; ainsi pour avoir la valeur de Y il faut extraire la racine carrée de 4 X, ce qui donne les deux premiers termes aaf -h ; on continuera l'opération en ajoutant aux premiers termes des résidus les multiples convenables de n , pour que tous les termes de la racine aient leurs coefficients entiers et les plus petits possibles. Connaissant Y on aura Z par l'équation
- — - — j , dont le calcul se fera sags rien négliger. Voici
d'ailleurs un moyen de simplifier beaucoup l'opération qui vient d'être indiquée.
En rejetant les multiples de n , on a Y=al/X et X= x l
ttf TtftëÔftlË DËS KOMfiRËS. *
=*"*(i — i)~ 1 (i — ^ir.) • Mais côrtirtte dans la râleur de Y on
n'a besoin que des puissances positives de x moindres que x" , il est elair qn'Ort peut supprimé!* le facteur i — JT,m" qui n'aurait d'influent* qu'après les puissances x^, et qu'ainsi on aura
ou
Y = aai-+ar'+]4r-'+ j^-tf- J+ etc.
il restera à donner aux coefficients ^ j j^, j-j^-g » etc. une valeur
en nombres entiers les plus petits possibles, positifs ou négatifs, ce qui sera faeile dans Chaque cas |>articulier en ajoutant aux numérateurs de ces fractions les multiples de n, positifs on négatifs, qui rendront la division possible par les dénominateurs. Au reste chaque coefficient réduit servira à former le suivant; ainsi ayant
trouvé pour la valeur ±k, le coefficient suivant sera ±^
qu'il faudra réduire à un entier en ajoutant, s'il est nécessaire, un multiple de n au numérateur. L'opération d'ailleurs sera terminée lorsqu'on parviendra au terme moyen ou aux deux termes moyens du polynôme V , parce qu'en général les coefficients également éloignés des extrêmes sont égaux ; ils ont de plus les mêmes signes si n est de la forme 4 i + i , et des signes différents si n est de la forme 4 / + 3.
( 'Ji 2) Il y a encore un moyen plus simple de trouver immédiatement la fonction Y; en effet, dans le développement de la puissance (x — 1)™ tous les termes, excepté Je premier et le dernier, ont leurs coefficients divisibles par n ; ou peut donc laire
— i)"=a" — 1 — #iT,oti:r" — 1 =(x — i)*+nT;done 4X(x — 1) ou (x — i)(Y* ±rtZ,) = 4(«£ — i)" + ^n'T. Omettant dans cette équation les multiples de/k, on aura (x — i)Y'=4(# — 1)", d'où l'on tire Y' = 4(x — i)'" et Y =2 (x— 1)"; ainsi on aura généralement
Y^uxT— 2mr, + m.— 2m.OT~'r~a.ar-i-t-etc.; et dans ce développement il ne restera plus qu'à réduire les coeffi-
