CINQUIÈME PARTIE. id

cieuts au-dessous de-J-w, en supprimant les mul.tiples de n qu'ils peuvent contenir; ce qui réduira par exemple, le coefficient du

second terme — a m à 4- 1 , celui du troisième à ' ^ , etc.

Une observation que fournit la valeur développée de Y,, c'est qu'aucun de ses coefficients ne se réduit à zéro; car n ne peut se trouver parmi les facteurs m.m-r- 1 >m. — a. . . ; donc le polynôme Y du degré m aura toujours m 4- 1 termes. Il n'en «sj pas de même du polynôme Z qui est du degré m^- 1 et 4pH,t plusieurs ternies peuvent manquer.

Voici une table où l'on trouve les valeurs des polynômes Y et Z pour tous les nombres premiers de 3 à 29. '

n Valeurs des polynQmes Y et Z.

\ = '2x+ 1 , Z= J Y' = .;c4-a, Z==yC

Y = 2ar* 4-a?4-a, Z==a;

Y = a ar* 4- .r' — a — a, Z=.t* 4- a:

Y = aa:5 4- a^ a a:' + oa>' Trrjc ttt 2 , £3=.** + *

Y=ax{ + as -f- 4a;4 — a^ 4- f\xl + .c+a, Z = a:5 4- aP 4- *

Y = aar*H-aJ7 + 6ar*+ ^a»*-*- 4^^- 7.r' + 5x' + x + a 7,—jC 4- .r6 4- .rs -f- ax4 4- a:1 -f- .v* 4- x

Y = zx9-h x* — 4a? 4- 3*'-*- Saî5— 5ar4r-3arï4-4** — ar— a — ^6 + a^ f-^4 — a?3 4- x

Y= 3x"4-ar"— S*»— 8a?— 7a?'— 4a? 4- 4a?* 4- jx* 4- 8a? 4-'5ar'— a?— 2 '£=x'° 4- .r9 — x7 .— r a.tf'W a.or* ,rr a? + 4- a?

j aar-^a^'^Sar"— 3 a?" aa* 4- 3 a? 4- 9a-7 — 1 4- a.4- a: 4-£a? -^3*? 4- #* -5-3^.4- 3#« Z=ar,> 4- x" — x" 4- a? 4- a:7 4- a? — x* 4-^4^

Second cas. n=3ro -+- i , A-=3.

(5i3) Alors la période (3 m: i) contenant toutes les racines de lequation X = o, se décompose en trois autres (m : i ) , (m : g\ (m : g*), dont les valeurs développées sont

(m:i)=(i) + (^) + (^).... + (^-3) {m : g)=(g) + (g*) + ($*).... + te1— ) 0» : 5")= te') + (**) + te') • • • • + te"-).

Soient p , p >p", ces trois quantités ; comme on sait que leur somme p+p' +p" = — i , on pourra supposer que ces trois quantités sont les racines de l'équation

Pi+pt+ Vp — Q=o,

dans laquelle on aura P=pp + p'p" ■+■ p" p, Q—pp'p".

Pour trouver les valeurs de ces coefficients, il faut d'abord connaître celle du produit pp'\ or par le théorème général ce produit est égal à la somme des m périodes (m : «) dans lesquelles a prend les valeurs successives i-i-g} g*+ g> 'g6~*~{)> mais aucune de ces valeurs ne peut se réduire à un multiple de n , puisque par la propriété delà racine primitive on a g3^= — i , ou g** •+- i =;nt («), |t étant jm , et qu'ainsi on ne peut avoir en même temps g*'— = — i . Donc la valeur du produit pp' ne contiendra pas la période (m : o), et devra se réduire à la forme

pp' = Ap+bp' + Cp" ,

dans laquelle A , B , C sont des entiers positifs tels que leur somme A -4- B + C=m. De cette valeur on en déduit deux autres, savoir :

p'p" = kp' + Vp" + Cp p"p= Ap" + B/> h- Cp';

et puisque la somme de ces trois produits = (A +B -t-C) (p + p'+p") = — m, on a P=— m.

CINQUIÈME PARTIE. 197 Pour avoir le produit pp p" , on mettra pp' sous cette forme

pp'— — C + (A — C)p + (B — C)p'y

puis multipliant de part et d'autre par p" et substituant les valeurs de pp" et de p'p" , on aura

pp'p" =—Cp" + (A - C) (A p" + Bp + Cpn) + (B— C) (A p + Bp" + C p).

Le premier membre étant une fonction invariable de p,p\p" , le second en doit être une aussi ; partant il doit se réduire à la forme M (p+p' + p") et ultérieurement à — M. De là résulte la condition