A' + B* + C1 — AB — AC — BC=C
laquelle étant combinée avec l'équation A + B+C^m, donne pour résultat
( 5 1 4) Cette équation détermine complètement lecoefBcien t C, ainsi que A — B; car n étant un nombre premier de la forme 3/» + 1, on pourra toujours faire n=«* ■+■ 36*. Or i* si 6 est divisible par 3 et qu'on fasse 6 = 3 y, on aura 4 n = (a «)' ■+• 27 (a 6)', ou 4 n = a* -+- 37 h\ 2° Si 6 n'est pas divisible par 3 ; comme a ne peut jamais l'être , l'un des deux nombres a -h 6 , a — 6 , sera divisible par 3 ; mais en mettant 4« sous la forme («±36)' 3(0^6)*, on pourra supposer. . a ±36= a , a=jz 6= 36, ce qui donnera encore 4«=a,+ 276*, et on voit de plus que 4/i ne sera jamais qu'une fois de cette forme.
Cela posé on aura C= et A — R = ±b, ce qui donnera
pp'p'=0 — AB=C' — ; (m — C)' -H 76*; donc
Q(SC — m)(C + m) + l>' nC-m'
valeur qui, quoique sous la forme fractionnaire, sera toujours un entier. L'équation cherchée sera donc en général
p1 + p' — mp + y (m* — /»C)=o.
(5i5)Soit par exemple «= 991 ,011 aurQ.m=3'^ott/^n=zC^t, + 2J.3',
« = fn, C=221±±=n7, j(nC— i»')=a349.
On trouvera sembtablement pour le» nombres premiers au-dessous de 100, les résultats suivants :
/i = 7, i3,ig,3i, 37, 43,6i, 67,73,97 /n = a, 4, f»»*o, la, i4>2o, aa,a4,3a Q=i, — 1, 7, 8,—u, — 8, 9,-5,37,79.
On formera donc ainsi autant d'équation* qu'on voudra de la forme p* + p* — mp — Q—Oy dont la propriété est telle qu'une racine étant connue et désignée par p, les deux autres p' et p" seront données par les formules :
d'où l'on voit que l'expression d'une racine en fraction continue servira à trouver immédiatement l'expression des deux autres racines , et qu'ainsi il y a une infinité d'équations du 3e degré qui jouissent de cette propriété dont nous avons déjà donné un exemple pour le cas de «=7 (art. i o5).
(5 Les trois racines p,pt ,/?'' ', étant trompées, le polynôme X pourra se décomposer en troisfaeteurs P-»»Q/M-ft/»\ P-4-Q/?'-*- R/*", P -f- Qp" -4- Rp , -dans lesquels P , Q , R désignent des polynômes m ,v, le premier du degré m, les autres de degrés inférieurs, dout tous les coefficients sont entiers. Os polynômes se trouveront par la méthode du n*5©4» doivent en général satisfaire à l'équation
où l'on fera disparaître les fractions comme au na 64 1 . Par exemple dans le cas de n = 19, on aura
V = x6 + ax1— ax' + aa;' 1 Q= — or1 — 2X1 — x
Troisième cas. /t== 4 4- 1 , ^ = 4
(017) Il s'agit dans ce cas de former lequation du 4e degré qui a pour racines les périodes {m : 1 ) , (m : g) , (m : g *) , (m : g') que nous désignerons respectivement par p, p\p'\p"\ et dont les valeurs développées sont
/',=(^)+(^)+(éf9)••••+(é'4-,) />"=(éro+te6)+(r)----+te4--') ^'"=(^) + (r)+(r)----+(^-)-
Pour cela il faut distinguer deux cas selon que m est pair ou impair.
i° Si m est pair et qu'on fasse m = st p. , ou n=8|x 4- 1 , alors on aura d'une seule manière n — a' 4- 166', ce qui déterminera ....
C iii±LEËfI } et l'équation cherchée sera
•jt° Si m est impair et qu'on fasse m = 2 p. 4- 1 ou /1 — 8 j* 4- 5, on ne pourra avoir que d'une seule manière n — a' + ^b\ d'où l'on déduit C=4|t+81~a, et l'équation cherchée sera
p' -»-/;' -4- ( a + i)/?' + (/n'— /iC)/?4- (1 4- jn)1- n(C— t^)' = o-
(5 1 8) Le second cas n'étant guère susceptible d'application , jjarce que l'équation du quatrième degré a dans ce cas ses quatre rac ines imaginaires, nous nous bornerons à démontrer l'équation qui t onvient au premier cas , cette équation ayant toujours ses racines réelles.
Dans ce cas la racine primitive g- satisfait à l'équation gim= — 1 , et comme on a
pp'=(m: 1 +g) + (m: i+gs)+(m: 1+g9). . .4-(m: 1 +gA~~>),
il est visible qu'aucun des termes i + 1 4- gs, 1 +g9y etc. ne peut se réduire à zéro , et qu'ainsi la période (m : o) dont la valeur est
aoo THÉORIE DES NOMBRES.
m, ne se trouvera pas au nombre des m périodes qui composent la valeur de pp'. Nous ferons en conséquence
p p'=Ap + Bp' + Cp" + Dp" ,
A , B , C , D , étant des entiers positifs dont la somme A + B + C+ D —m. Cette équation et les trois autres semblables qu'on en déduit donnent les produits de deux termes consécutifs dans la suite p, p\p",p" , savoir :
pp =Ap + Bp> +Cp"+Dp"' p'p" =A/?' + B/Z' + C p" + Dp pp,'=Ap"+Bp'"+Cp +T>p' p"p =Ap"+ Bp + Cp' + Dp".
Il en résulte la somme des produits de deux termes contigus , ou
Pour avoir semblablcment la somme des produits de deux termes non contigus, j'observe qu'on a par le théorème de l'art. 5oo,
pp"=(m:i (m: i +#6) + (m : t .+{m: i ')!,
et comme dans la suite i i +^6, etc., on ne saurait ren-
contrer le terme i -t-g*m ou i 4- qui se réduit à zéro, il s'ensuit que la période (m : o) ne se trouve pas non plus parmi les m périodes qui composent la valeur de pp". On peut donc supposer
pp"= Fp + Gp' + Up"+ lp"' ,
F, G, H , I étant des entiers positifs dont la somme F -+- G 4- H 4- \=m . De là résulte en avançant les lettres p d'un rang ,
p'p™ =Fp' + Gp"+ Hp"'+ lp.
Avançant encore dans celle-ci les lettres d'un rang, on aura
p"p=Fp+Gp"'+Hp + lp.
Comparant cette expression à celle qu'on a d'abord supposée, on en tire H = F, l==G. Donc les deux produits pp" , p'p", seront ainsi exprimes :
pp"=F(P+P") + G(p'+r")
et on aura en même temps F -+- G=t m — [L.
Désignons à l'ordinaire par S(pp"), la somme des quatre valeurs que prend pp" , en faisant parcourir à chacun des facteurs de ce produit le cercle entier des valeurs de p; cette somme sera égale à — m, comme S(pp'); mais comme les mêmes termes pp",pp" ', s'y trouvent répétés deux fèis, on aura pp' + p'p'" = ±S{pp") = — ;"* = — !*•
(5 19) Maintenant si nous représentons par
f + f + Pp* -Q/> + R=o,
l'équation dont les racines sont p,p\p" ,p"\ il est visible qu'on aura P=S(/>/>') + iS(/>/0— — 7™= — 3jt.
Pour trouver semblablement la valeur du coefficient Q , j'observe que ce coefficient égal à pp'p'-Vp ' p' p" •¥ p" p" p + p "pp est représenté par le seul terme S {pp'p"). Or si on met la valeur de p p' sous cette forme
pp' = — C + (A — C)p + (B - cy + (D — C)/T ,
et qu'on multiplie chaque membre par p", on aura
pp'p" =— Cp + ( A — C)pp + (B - C)/V' + (D — C)p"p"'.
Cette équation en fournit trois autres semblables et la somme des quatre donnera S {pp'p") ou
Q=-.CS(/>")+(A-C)S(^")+(B-C)S^>")+CI>~C)S (//'), or on a
S {P") = S(f»)= — 1, S (/,/,») = S(^>")=, S {p»p»')=-m II. a6
aoa THÉORIE DES NOMBRES,
donc '.•
Q = C— (A + B+ D-3Q/» = C- m(m — \C)=nC — m'.
On peut aussi mettre la valeur de pp sous la forme
pp'= - Oh- (A — D)P + (B - D)/>' +- (C — D)/>",
et multipliant de part et d'autre par p" \ pu en déduira J\pp'p"), ou Q=«D — m'; donc D = C.
Une troisième valeur du coefficient Q peut se déduire du produit p p qu'on mettra sous la forme
Pp" = — G + (F — G) (f> + ;
puis multipliant de part et d'autre pur />' et formant les trois autres produits semblables , on déduira de leursomme Q=n G — m\ donc G = C.
Par ces résultats les valeurs des produits pp',pp" ', deviennent • pp' = Ap -+- ftp' ■+- Cp" + Cp'"
Delà seconde on déduit la valeur de p' p'" ', laquelle étant multipliée par celle de pp", donne pp'p'p" ou
R=C'+C(|* — aC) + (jt— aCySC/y/);
et puisque S(pp') — — m, on aura
R = C,-i-({i— aC)C — a,*(|i— aC)',
ou R=|n' — n(C — 7|a)'; l'équation qui a pour racines les quatre valeurs de p est donc
p* + p1— 3^' -i- (V— nC)p + — «(C — 7n)* = o.
Ainsi il ne reste plus qu'à déterminer le coeflicient C.
(5ao) Pour cela multiplions par p' la valeur depp", nous aurons en substituant les valeurs linéaires de pp' et pp" :
