CINQUIEME PARTIE. so

pp'p = — C/>' + a^— aC)7>' ~aC(K— aC)

M ultipliant de part et d'autre par p'" et réduisant Je second membre en termes linéaires , on aura

'pp'p'p' = [a.fe-a C)'-C][C>+/0+(^- C) 0'+/')] -+- (ft — aC) (A — C) (A//" +Vp + Cp + Cp) + ((A-aC)(B— C)(Ap"+ BP'"+Cp + C?) -aC(,t — aC>'".

I-e premier membre étant une fonction invariable dep,p'tp",p"\ le second devra se réduire à la forme M(p + p' + p'+p") ou — M; de là trois équations qui conduisent à la seule condition

(A — C)' + (B— C)*=aC.

Et puisqu'on a d'ailleurs A + B+ aC=aji, ces deux équations en donnent une troisième,

Cette dernière suffit pour déterminer C et même B ; car le nombre pivmier n étant de la forme 8p + i , on aura toujours d'une seule manière n=a' + 16b'; ainsi on devra avoir 8C — 4(* — i=±«, et B + C — (i = dbi, ce qui donne

C==4JM L±^>

valeur qui en prenant a avec le signe convenable sera toujours un entier.

Ainsi étant donné un nombre premier n de la forme 8p -f- i , on pourra toujours former a priori l'équation du quatrième degré qui a pour racines les quatre périodes p,p Tp" ,/>'" ; ce qui permettra de décomposer en général le polynôme X du degré , en quatre facteurs du degré m correspondants à ces quatre périodes.

(5u c) On peut remarquer, au reste, que l'équation du quatrième

ao4 THÉORIE DES NOMBRES.

degré en p est facile à décomposer en deux équations du second degré, l'une p' — *p + C=o , qui donne les racines p et p", l'autre p'— yp+$=zo qui donne les racines p' et p'". En effet , pour déterminer les coefficients «, g, y , & , on a les équations

x=p+p", Ç=pp" = — C +(„. — 2C)* y=p'+p"\ l=-.pp"~ — C -h — aC)y.

ï^es deux équations du second degré seront par conséquent

— C — — ji + aC)=o — C — f(p — [x h- aC)=o.

Il reste à déterminer a et y; or on a a + y=p +p +p"+p" '— — i , et a y =/?/>' 4- ///?" + p"p '" +p"'p = — a |t. Donc « et y sont les deux racines de l'équation ,

y-hy—2y.=o,

d'où l'on tire * = — { + [\/n, — — 7 — \\S n. On peut vérifier en effet d'après ces valeurs que le produit des deux équations précédentes, savoir :

{p% ~ C)% + (/»'- C) (/>—(* H- a C) - a? (p-r-h aC)' =0 , se réduit à l'équation déjà trouvée

p( +pi-î¥.p' + (4 (i* - iC)/> + 7!** - "(C — 7K),== 0

(5aa) Connaissant une racine de cette équation , désignée par p , on trouvera les trois autres p',p' ,p" , exprimées chacune par une fonction de la forme a + £p + y/>' + ip\ Mais dans le cas présent on aura une expression encore plus simple de ces racines au moyen des formules suivantes qui résultent des formules démontrées

, — C + (A — Qp „. — C-|-(H — C)p P— , + ' P — /, + C-A '

P p + aC — p

Quant aux valeurs de A et B qui entrent dans ces formules , elles