CINQUIÈME PARTIE. ao

se déduisent des équations A .-= ji — Cq=^,B^=jtC±&; valeurs où le signe ambigu n'a d'autre effet que de changer à la fois A en B et p en p"'. On j>eut donc former pour tout nombre n = 8p, i , une équation du quatrième degré, telle que le développement d'une racine en fraction continue donnera immédiatement le développement des trois autres racines. Voici un tableau de ces équations pour tous les nombres premiers moindres que 100, de la forme

Équation bjc p

o=p*+pl—6p* —p-\-i o=p< -\-pl — i5/>" +18/»— 4 o—p*+pi—*7p'—4lp+ 16 o =P> +p> —33/»' -f- 39/> 8 0=7»' +/>' —36/»* + 91/7—61

Quatrième cas. n = 5m + 1 f k = 5.

(5a3) lia période (5m : 1) représentant la somme des racines de l'équation X=o, se décompose en cinq périodes de m termes, sa voi r : f m : 1 ) , (m : g ) , (m : ,(m:g*),{m: g*) , que nous désignerons par p,p, p",p"',p", respectivement, et dont les valeurs développées sont :

p = (0 + (*') + (*")•••• + (*•*-*) A>'=te) + te6)+(ér'')....+(érs--4) (m te7) +(#•')•.. ^(éT5"-1) ^=(^) + ^') + ^,,)....+(ér^) = (S4) + (g9) + (s"4) • ■ • • + te"-').

Pour avoir l'équation qui a pour racines ces cinq valeurs de p, nous considérerons d'abord les valeurs générales des produits p p ,p p\

*oo THÉORIE DES NOMBRES.

d'où se déduisent les valeurs des produits deux à deux des racines, partagés en deux séries, comme il suit :

P p z=\p + bp'+Cp'+Dp"-i-Ep",p p' — \'p hB'^ + C>"+D>'"-f E/v P' P' =AP'+ Bp"+Cp "+Dp" +EP,p' p" = \'P '+ «>"-+- C'p D>" + E> />>"= A/' + B/7" + C/,".f-D/»+E/»', /.>"=A/+B/+ C>"+D>+ E> f y^—Kp "+Bp»+Cp + Dp + F.p", p p =A/'+B*/'+ C>+ 1)^4- E> = A/r+B/M-<y+ D/#"+E/', /»-y = A'/»" + B>+ CpT+UpT+Ep "'.

Dans ces formules les coefficients A, A',B,B',etc. désignent des entiers positifs ou nuls, tels qu'on a

et puisqu'on a toujours S (p) = — i, l'équation enp sera de la lorim*

o=^+^ + P^ — Q/>' + R/>— il.

(5a4) La question est maintenant de déterminer les coefficients P,Q,R,li, d'après la seule connaissance du nombre premier // de forme 5/w -+■ i , afin d'obtenir des résultats analogues à ceux des cas précédents.

On aura d'abord S(pp') =( A + B + C -+- D -+- E) (p+p -+■/>" + p" +p") = — m, et semblablement S(pp') = — m , ce qui donne P ^=$>' pp) +- S(pp')= — 2m, et S(p')~(SpY— aP— i +-4'" = " — m. Multipliant par/»" la valeur i\cpp, on aura

pp'p= \pp + H//f+C{py+ D/TP'+ Ep"p.

Avançant successivement les lettres p d'un rang, on formera quatre

autres équations semblables, et la somme de toutes donnera

S{pp'p")z=(A + ]i+n + E)(— m) + C (/» — m)=*C— m*. Si on multiplie semblablement la valeur de pp' par />'*, on en déduira S(pp p")=nE — m'; mais S (/>/>'/>") est la somme des cinq mêmes termes qui composent S (pp'p')', donc on a en général E=C.

Une autre valeur de la même somme se trouvera en multipliant pp" par p\ ce qui donnera S(pp'p")=nB' — m', donc B = C=E.

On peut trouver semblablement trois expressions de la somme