CHAPITRE VIII. — LA MULTIPLICATION ALGEBRIQUE. l3l

Réciproquement, pour que/(j?) soit divisible parle produit

dans lequel les nombres a, b, c, ., ,, l sont inégaux deux à deux, il faut et il suffit que Ton ait

73. Identité et similitude des polynômes. — Deux polynômes réduits et ordonnés sont dits identiques (ou semblables), si les coefficients des mêmes puissances de x sont égaux (ou proportionnels). Le nombre des conditions pour que les polynômes de degré n soient identiques est (n H- i), et le nombre des conditions pour qu'ils soient semblables est n.

Si un polynôme /(x) de degré n s'annule pour plus de n valeurs de X inégales deux à deux, tous les coefficients de ce polynôme sont nuls, et le polynôme est nul quelle que soit la valeur de X.

Si les valeurs numériques de deux polynômes de degré n sont égales (ou proportionnelles), pour plus de n valeurs de x inégales deux à deux, les polynômes sont identiques (ou semblables).

Les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication sur des poljTiômes ordonnés ne peuvent donner comme résultats que des polynômes identiques, quel que soit l'ordre des opérations.

Lorsque le multiplicande, le multiplicateur et le produit, sonl ordonnés de la même manière par rapport à la variable x, le premier et le dernier terme du produit sont respectivement égaux aux produits des premiers et des derniers termes des facteurs.

exemple I, — On a l'identilc

X^-\- 4^^= (^*-l- 237^ -r- iy^){X^ — 2XJ^ -\- 'ly-).

Pour^ = I, on déduit cette proposition de Sophie Germain (*) : Tout nombre entier (x'*-^ 4 )? autre que 5, est le produit de deux nombres

entiers. Pour x = i et j^ = 2", on a la formule d'AuRiFEUiLLE, entrevue

par BÉGUELiN (2),

(• ) Manuscrit n" 91 18 du fonds français de la Bibliothèque nationale (p. 84). (•«) Mémoires de l'Académie de Berlin pour 1772, p. 29G.

l32 LIVRE I. — LES NOMBRES ENTIERS.

Exemple IL — On a l'identité

J.6 j. 2;^6 = ( J.2 4 3j.s) (a^î Zxy^ 3^») (x» H- Bay -h 3^*) ,

et pour a: = I, ^ = 3", on en déduit que 3*'»'+-*-H i est le produit de trois facteurs.

Exemple III. — Le nombre x^^ — 5*^*<> est le produit des trois facteurs