X- — 5^', x^-\- i5x*^*-h i5y^±i Sxy{x

Exemple IV. — Le nombre 0?**-+- 6*^*' est le produit des trois facteurs

Ces formules sont les premières de deux lonfjues suites de formules que nous avons tirées de deux de nos mémoires : Théorèmes arithmétiques (Acad. de Turin, 1878). — Sur les formules de Cauchi' et de Lejeune- DiRicuLET (^Association française y Congrès de Paris, 1878).

Exemple V, — Si Ton pose

X = x^ — y^ -\-^Zxy{%x -\- y^y Y — y^ — ir'-h '^yx^'i.y -+- j?), Z = 3(^2 -h jy-^ 7*),

K ^xyi^x-^y),

on a l'identité

X5-f-Y3= AZ'.

En particulier, pour a? = i et j^ = 2, on a

qui donne une solution de l'équation indéterminée

X3-hYs=6Z5,

et, par suite, une infinité de solutions, bien que Legendre ait affirmé son irrésolubilité dans sa Théorie des Nombres (*). '

7i. Binôme de Vandermonde. — Posons^ pour simplifier,

(l -\- X)P = \-\- pxX ->r p^x'^-^. , .-h PîXP-^-hpiXP-^-^XP',

on a aussi

(x ■+- i)P= xP-\-pixP-^ -^-piXP-^-h. . .-h pix^-hpix -h 1 ;

( ' ) Voir nos Théorèmes généraux sur l'impossibilité des équations cubiques indéterminées {Bulletin de la Soc, math., t. VIII).