CHAPITRE VllI. — LA MULTIPLICATION ALGEBRIQUE. l

en multipliant membre à membre et en égalant les coefficients de xP^ d'après la loi d^dentité des polynômes, il vient

en d'autres termes, la somme des carrés des coefficients du développement de (i -^x)P égale le'coefjicient du milieu dans le développement de la puissance d^ exposant double.

De même, en égalant les coefficients de xp dans le développement de (i — ^^)^, d'une part, et dans le produit des développements de (i 4- x)P et de (i — x)p^ d'autre pari, on trouve que la somme alternée des carrés des coefficients du développement de (i -hx)/',

est égale au coefficient du milieu de ce développement lorsque p est pair, et à zéro lorsque p est impair.

Plus généralement, on peut égaler le coefficient de x^ dans le développement de (i -h^)''"^^, d'une part, et dans le produit des développements de {\-\-x)p et de (i-Ho:)^, d'autre part. On trouve alors une formule qui ne diflere que par la forme d'une identité donnée par Vandermonde, et que l'oA appelle binôme des factorielles (n° 48, Ex. IV). En d'autres termes, le binôme des factorielles est le résultat de la loi d'identité des polynômes, que l'on obtient dans le procédé de la multiplication accélérée des polynômes ordonnés, en étendant à ceux-ci le procédé de multiplication rapporté par Fibonacci (n® 19). Ces diverses propriétés sc/nt considérablement amplifiées dans les numéros suivants.

Exemple L — ^. Trouver la somme des produits deux à deux des coef^ ficients du binôme.

Lorsque l'on connaît la somme de p nombres et la somme de leurs carrés, on obtient la somme de leurs produits deux à deux par la formule

22a^> = (2a)»— Sa»,

que Ton déduit du carre d'un polynôme. Dans l'exemple, on a donc

(ip)\

l'Lab = 2*/» —

démarque. — On ne connaît pas de formule simple pour la somme des cubes des coefficients du binôme.

l34 LIVRE I. — LES NOMBRES ENTIERS.

Exemple II, — Si l'on multiplie respectivement les q premiers coefficients du développement de (i — x)P par les q premiers termes d'une progression arithmétique ayant a pour premier terme et r pour raisoD, on a pour somme des produits

(-')''"* pi,p-i) ^P''^^ - i)-f- a(/> - 1)] CJ. (Dbl.\nnot.) Exemple III. — Démontrer les deux formules

* rn ^ m-i , ■ ^^ ^ r>\ — pn «

/1-+-I /i-ha •* an — i

THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LE CALCULi DES SOMMES