CHAPITRE VIII. — LA UULTIPLICATION ALGÉBRIQUE. l

On peut augmenter d'un nombre qnelcontjue, soit les indices <le2, soit ceux de u; d'où l'on d(^duit que si l'on multiplie respectivement (p + i) termes consécutifs d'une ligne AB d'un tableau de sommes, par les coefficients du développement de ( 1 + x)P, on obtient, pour somme des produits, le terme C du Tableau, placé au-dessous de B dans la même colonne, et de A, dans la même diagonale {Jïg- 54).

Fie. 5V

Pour le tableau des différences, la formule précédente devient 76. Relation entre les termes d'une môme colonne- — On a la for-

lule

en passant à la ligne suivante,

en retranchant la première égalité de la seconde, il vient

«tt = 2' «i — 2 S' «1 -+■ S' «u.

En retranchant cette égalité de celle que l'on obtient en passant à la ligne suivante, il vient

On trouve ainsi la formule générale

OU, SOUS la forme symbolique,

(2) W0t^SP(M— l)/»,

à la condition de remplacer, après le développement de (u — i)Py les exposants de u par des indices, sans oublier V exposant zéro.

Par conséquent, si Von multiplie (p -h i) termes consécutifs d'une même colonne CB d'un Tableau de sommes, en remontant, par les coefficients de (i — *r)^, on trouve pour somme des produits le terme A du Tableau {fig- 54).

Avec la notation A du calcul des diflercnces, la formule précédente s'écrit

11, Relation entre les termes d'une môme diagonale. — On a la formule

par suite, en passant à la ligne et à la colonne suivantes, el, en retranchant membre à membre

2* Mo = 2il* 1/2 — 2 2 Wi -+- M,) ,

en général,

ou, sous la forme symbolique,

(3) ZPu^^{:Lu^\)p.

Par conséquent, si l'on multiplie respectivement (p-i-i) termes consécutifs d^une diagonale CA d'un tableau de sommes par les coefficients du développement de (i — x)p^ on obtient pour somme des produits le terme R du Tableau

{fg- 54).

Avec la notation des différences, on a (3') ih^{u — ii)P,

Si le tableau des u représente le triangle de Pascal, les rcla-