CHAPITRE VIII. -^ LA MULTIPLICATION ALGÉBRIQUE. l

lions précédentes subsistent; l'une d'elles donne, en particulier, le binôme de Vandermowde. On peut appliquer ces relations au triangle arithmétique, en le supposant illimité dans tous les sens.

On obser\'era que les formules (i) et (i'), (2) et (2'), (3) et (3'), rentrent deux par deux l'une dans l'autre, si l'on se rappelle V identité symbolique d'opération SA = i , c'est-à-dire si l'on remplace IP par à" P.

78. Démonstrations figurées. — Les théorèmes que nous venons d'exposer peuvent être démontrés et généralisés par des calculs très simples d'Arithmétique de position. La/ig, 55 nous rappelle

Fig. 55.

Fig. 56.

Fig. 57.

Théorème de l'angle droit.

que tout nombre contenu dans une case quelconque U d'un tableau de sommes est égal à la somme des nombres contenus dans les cases marquées i, et pris une seule fois.

Si l'on remplace, à partir du bas, toutes les cases marquées

l38 LIVRE I. — LES NOMBRES ENTIERS.

par les deux cases correspondantes de la loi de formation, on obtient la fig, 56, qui montre que le nombre contenu dans la case U est égal à la somme des nombres contenus dans les cases marquées i, 2, . .. , 6, 7, i, multipliés respectivement par ces coefficients ; on passera de même à \^fig* S^. On peut aussi, en partant de la droite, remplacer les cases du haut par les cases qui correspondent à la loi de formation. Par induction, on en déduit le théorème suivant, qui s^applique dans toute Tétcndue d'un tableau de sommes :

Fig. 58.

Fig. 59.

Si l'on considère, dans le triangle de Pascal, un angle droit ( fis* ^^) formé avec les premières cases d'une ligne et les cases supérieures d'une colonne, de rangs quelconques ; puis, si l'on élève d'un rang , en les déplaçant en même temps , d'un rang vers la gauche, toutes les cases du côté inférieur, et si l'on fait tourner ensuite l'angle obtenu d'un demi-tour autour de son sommet, on obtient l'angle de la fig. 5g. Cela fait, si l'on pose

GHAPtTKB VIII. — LA MULTIPLICATION ALGÉBRIQUE. |39

cet angle sur les cases d'un tableau de sommes, la somme des produits obtenus en inulliplianl le nombre de chaque case par le coefficient correspondant de l'angle est égale au terme du tableau qui se trouve dans la même colonne -J- que le i supérieur de l'angle droit, et dans la même diagonale -i. descendante que le I inférieur de l'angle.

Lorsque le côté vertical de l'angle se réduit à deux cases, on retrouve le théorème i (n" 75). Les autres théorèmes donnent lien à des généralisations semblables à la précédente. Nous laissons au lecteur le soin d'étudier les propriétés des termes d'un tableau de sommes, dans ses rapports avec les coefficients du triangle de Pascal situés dans les parallèles à la diagonale ascendante f .

Lorsque l'on écrit le tableau des sommes et des dilTérences dans la disposition du carré arithmétique (n" a3), les théorèmes qui précèdent prennent une forme plus symétrique. On peut, d'ailleurs, les démontrer directement sur une figure. Ainsi, on aperçoit tout de suite {/Ig. 60), que, dans tout tableau de sommes

Fig. (

disposé comme le carré arithmétique, le terme contenu dans la case noire de&Jig. C,, Cj, Cj est égal à la somme des termes contenus respectivement dans les cases d'une diagonale ascendante, multipliés respectivement par les coefficients des développements (1 + x)', de (i +xy et de (i + ar)'.

En général, si l'on multiplie (n -|-i) termes du Tableau (^^.61) contenus dans les cases de la diagonale .^ AC par les coefficients du développement de (1 ■+■ x)", on trouve le terme contenu dans la case B. Si l'on multiplie (n + 1) termes contenus dans la ligne ■*- BA, respectivement par les coefficients de ( 1 — x)", on obtient le terme C. Enfin, si l'on multiplie {n -+■ 1} termes conte-

lio

nus dans la colonne f BC, par les mêmes coefQcIentSy on obtient le terme A.

Fig. Cil.

Ces propriétés s'appliquent à l*échiquier triangulaire, au pentagone aritlimétique et à l'hexagone, en supposant que ces tableaux sont prolongés indéfiniment dans tous les sens, par la même loi de formation.

PUISSANCES DES POLYNOMES.