Puissances des polynômes. — On peut encore établir le

théorème général de la manière suivante. Considérons le polynôme

de q termes

et raultiplions-le par lui-môme, en écrivant les termes dans Tordre ordinaire, c'est-à-dire en multipliant d'abord le multiplicande par a

aa -T- ba -^ ca -h , , ,-\- la;

puis par 6, puis par c, . . ., par /; nous formons ainsi le carré du polynôme. Si nous ne nous servons pas d'exposants, et si nous ne faisons pas la réduction des termes semblables, les q^ termes du produit représentent les B^ arrangements complets des q lettres, prises deux à deux. En multipliant encore par le j)olynôme, sans faire de réduction, nous obtenons les BJ arrangements complets des q lettres, prises trois à trois, et ainsi de suite jusqu'à BJ. Si Ton fait ensuite la réduction dos termes semblables, on voit que le terme a^b^c^ . . . A, de degré/?, aura pour coefficient le nombre des permutations avec répétition de p lettres dans lesquelles a sont égales à 6f, ^ à 6, . . ., X à /; on a donc

Quant au nombre des termes du développement du second membre, il est égal au nombre des combinaisons complètes de q lettres, prises/? à /?, c'est-à-dire à

T\P — rP — C^"^

l42 LIVftC I. — LES >-OMBftE$ C?CTICftS.

c'est, en effel. 1- nombre def m«>t5 de/> lettres (mis avec un alphabet de q lettres, chaque lettre pouvant Otre répétée jusqu'à p fois, mais de telle s-kjtU- que. dans chaque mol. les lettres soicnl rangées suivant Tordre al['haLctique.

Soit, par exemple. /> = 5. on a

\'Lti * = 1 <i • — SZ,<2*if — 1 o — a* ^'- — ao Z a* ^

On observera que les I du second membre de celte formule ont une signification Lien différente de ceu\ qui se trou^enl dans les formules qui précrdent: dans cette dernière formule, comme dans celles du n" GT. les S représentent des fonctions s vm étriqués dont la théorie sera exposée plus loin. I^ détermination du nombre de ces - revient à trouxer toutes les manières de former un nombre /* par Taddilion d'entiers positifs non croissants; cette question rentre dans la théorie de là p^iriition tlt's nombres.

Exemple /. — Dt terminer. |»oiir le> *\\\ j«reiniêre* valeurs de p. le nombre tle> manière^ de lV*rmer/' par l'additioii d'entiers positifs non croissants.

On forme le TaMeau suivant -,nV- ^-^ P^^ 1^ formule

lO

Pjiriiiiv»n Je> n.M:ibre>.

Ainsi. le nombre dos manières do former /» = -. par laddition de nombres