CHAPITRE VIII. — L\ MULTIPLICATION ALGÉBRIQUE. l

non croissants, est égal à la somme des nombres de la septième ligne

qui correspondent aux nombres de solutions qui commencent respectivement par

Exemple II. — Calculer les coefficients du carré de

Exemple III. — Calculer les coefficients des dix premières puissances du trinôme (i -h a* -h x^).

Exemple IV. — Dans le développement du carré de

\-^x->rix^-\-. ..-hpxf, le coefficient de ar^, pour g <.p^ est égal à

Exemple V. — Le nombre des manières dont on peut amener le point // avec p dés à jouer est le coefficient de x^ dans le déveloj)pement de la

puissance

(a: H- j^'-f-ar^H- x^-\- x^-{- x^ )p.

Exemple VI. — Le produit

^(x^ -^ y^ -h z^y[(j^ -^ z)^ -h{z -h xy -^(x -^-yy]

est la somme des cubes des polynômes

81. Arrangements fig^urés. — ■Nous donnerons iinr dëinonslralion de la formule (i) du numéro précédenl, (jui repose sur les arrangements figurés.

Considérons un échiquier formé de jt lignes horizontales el de a colonnes verticales ; déterminons le nombre des manières de placer a pions sur des cases dlfTérenlcs de réchiquier, et de telle sorte qu'il n'y en ait pas deux sur une même ligne. On observera que ce nombre est nul pour a>/? ; nous supposerons donc a</>.

Il faut d'abord choisir a lignes, parmi \csp lignes données, ce qu fait Cp combinaisons simples; puis, sur chacune des lignes choisicSy il y a a places ; il en résulte a^ dispositions différentes poui une même combinaison de a lignes ; donc le nombre cherché esl C^a^y ou, en nous servant de la notation des factorielles

En particulier, pour oL^p^ on obtient la figuration des arrangements complets BS de a objets , pris p k p, qui sont en. nombre aP.

Cela posé, considérons un échiquier de hauteur /> et de longueur (a-4-6-f-c-{- . . . -f-/) ; on peut imaginer que cet échiquier est formé par Faccolement d'échiquiers de même hauteur/> et dont les longueurs sont respectivement représentées par a, 6, c, ...,/.

Fig. 63.