CHAPITRE VIII. — LA MULTIPLICATION ALGÉBRIQUE

dan tes desp pions sur les cases de Téchiquier total. Ce nombre est évidemment égal au produit des nombres des dispositions de a pions sur lesp lignes du premier échiquier partiel, de épions sur (p — a) lignes du second, de y pions sur (p — a — P) lignes du troisième, et ainsi de suite; on trouve ainsi

ou, après réductions,

a«6?cY ... /*.

En faisant la somme de ces nombres, pour toutes les solutions de l'équation de condition, on obtient la formule (i) du n** 80. Avec la notation des arrangements complets, celte formule peut

s'écrire

Bir..........= i:,;,,;.;,,^,BgBgBr...B>.

a!p!Y!...Xî

Mais, au lieu de traiter le problème par la seule condition qu'il n'y ait pas deux pions sur une même ligne, on peut ajouter cette condition qu'il n'y en ait pas deux sur une même colonne; alors les Arrangements complets /i g uré s se transforment en Arrangements simples figurés, et Ton a la formule

Cette formule donne l'extension aux polynômes de la formule du binôme de Vandermonde.

Remarque. — Au lieu de supposer que les lignes de chaque échi- (juier partiel contiennent le même nombre de cases, on peut supposer que les p lignes du premier contiennent respectivement /ii, ^2? -"^ cip cases; que les p lignes du second contiennent 6,, b'i', ...? 6/> cases, et ainsi de suite. On peut, de plus, admettre que chaque case de l'échiquier peut recevoir jusqu'à n pions, que chaque ligne peut contenir respectivement jusqu'à /i|, /I2, ..., np pions; en outre, on peut encore faire des conventions pour chacune des colonnes de l'échiquier.

l46 LIVRE I. — LES NOMBRES ENTIERS.

En traitant alors ce problème général de la disposition des pions, en Intendant aux échiquiers cubiques, et au delà, on obtient des formules qui donnent, comme cas très particuliers, les formules les plus générales de Wariwg, dans la théorie des Fonctions symétriques, et celles de Wronski, dans la théorie des Facultés arithmétiques et dans sa Loi suprême des différences.

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