Les nombres fractionnaires, — Nous admettons que l'unité
P^^t être divisée en n parties égales, que l'on désigne par -;
^^ postulatiim correspond à celui d'EucLiDK, puisque celui-ci '^^V'îcnt à la division d'une longueur en parties égales. Mais on P^Vit se passer de ce postulatum, si Ton veut se reporter à l'In- ***^cluction de cet Ouvrage.
-^Définitions d^ une fraction — et de ses deux termes. Niiméra-
^ ^^ ^ et Dénominateur,
-^.ddition et soustraction des fractions de même dénominateur.
^ÎVlultîplication et division d'une fraction par un entier. 3n ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant ses deux
"•Ones par un entier.
I\éduction des fractions au même dénominateur (*).
--addition et Soustraction des fractions, — Simplification des ^^^lallats, lorsque l'on aperçoit un facteur commun aux deux
'*ïies.
C ** ) Les théories du plus petit dénominateur commun et du plus grand commun ^^Âseur sont reportées à la divisibilité arithmétique. La théorie des fractions dé- ^^k^Qiles périodiques est reportée à celle des congruences binômes.
Multiplication des fractions, — Le résullat est indt^pendant de Tordre des multiplications. — Puissances des fractions.
Division des fractions, — Fractions de fractions.
En général, les règles et les théorèmes sur les quatre opérations fondamentales des fractions a termes entiers et positifs s'appliquent aux expressions fractionnaires dont les termes sont des fraclions.
Exemple I. — On exprime le nombre loo par une somme de nombres fraclionnaires ne contenant qu'une seule fois les neuf chilFres significatifs par Tégalité
Exemple IL — Les fractions étagées. — C'est une suite de nombres «0, aj, cTj, . . ., a,n-|, qui sont disposés verlicalemenl et séparés successi\c~ ment par (/i 4-1) barres de fractions. Cette notation ne saurait être em-
Fig. 64 .
rt;
(fp^i
tn-^
Les fraclions élagécs.
ployée en Arithmétique, sans l'adjonction de parenthèses, car elle n'aurait pas de sens précis. Mais il y a lieu de déterminer le nombre des résultats que l'on peut obtenir en laissant à ce symbole sa plus large signification.
Désignons par(/i-4-i)lc nombre des barres de fraction, par Z^+i le nombre d'interprétations correspondantes; supposons que la fraction étagéc de ( /i -+-i) barres se compose du quotient de deux autres contenant respectivement/? et (n — p) barres; le nombre des interprétations différentes est, dans ce cas, égal au produit de tp par tn-p' Par conséquent, si l'on suppose/? successivement égal à la suite des entiers o, i, 2, . . ., n, on a la loi de récurrence
D'ailleurs, pour les premières valeurs de /i,
/o ^= I » /i = I , /j = 9., /j =: 5, > • • i par conséquent, en se reportant à VExemple IV du n** 51, on en déduit
83. Les nombres inverses ou réciproques. — Deux nombres fractionnaires sont dits inverses ou réciproques, lorsque leur produit est I . Ainsi a et - sont des nombres inverses, pour toute valeur entière de a, positive ou négative, et puisque la série des nombres entiers est illimitée, il en est de même de la série de leurs inverses. On peut donc considérer des suites indéfinies de fractions qui s'approchent de zéro autant qu'on veut, sans que ces fractions soient constamment nulles. De là, la notion d'in/inîment petit qui se déduit de celle du nombre infini, de même que la division est l'inverse de la multiplication.
Les Tables des nombres inverses, ou réciproques, sont très utiles pour la simplification des calculs; la Table la plus étendue, celle de Oakes, publiée à Londres en i865, donne les premières décimales des inverses des nombres entiers jusqu'à looooo; au moyen de Tables proportionnelles, on peut encore obtenir facilement les sept premières décimales des inverses de tous les entiers jusqu'à 10 000 000. L'emploi simultané de cette Table et d'un procédé rapide de multiplication, comme celui de la Table des quarts de carrés, permet de remplacer, dans les calculs approchés, la division (^ : 6) par la multiplication de a par l'inverse de 6 (n** 2o).
84. Les fractions algébriques. — Les règles énoncées dans les numéros précédents s'appliquent aux fractions algébriques. Par
l5o LIVRE II. — LES NOMBRES RATIONNELS.
suite, les opérations algébriques de Taddition, de la soustraction et de la multiplication, s'appliquent aux polynômes dans lesquels les coefficients et les variables sont des nombres fractionnaires, positifs ou négatifs. Il en est de même des théorèmes sur la divisîbilité par {x — a), et sur Tidentité des polynômes (n°* 72 et 73).
Division des monômes. — Règle des signes. — Règle des exposants.
Exposant zéro. — Exposants entiers négatifs. — Les théorèmes représentés par les trois formules
aP X a*/ = aP-^*l,
aP : a'i = aP-^,
{aP)i = aPi
s^appliquent à toutes les valeurs entières, positives, nulles ou négatives des exposants p ei q.
Exemple I. — Si l'on ajoute terme à terme des fractions dont les dénominateurs ont le même signe, on obtient une fraction intermédiaire, c'està-dire comprise entre la plus petite et la plus grande d'entre elles. — Cas de l'égalité des fractions.
Les anciens mathématiciens de l'Inde, de l'Egypte et de la Grèce, ont
souvent employé le procédé dit de médiation, qui consiste à remplacer
deux fractions
par leur médiante t —.t comprise entre les deux premières, pourvu que
b ei d soient positifs. Ainsi, par exemple, les deux nombres
— et — -y
7 loo
donnés par Arciiimède et par les géomètres indiens, qui représentent par
excès et par défaut le rapport de la circonférence au diamètre, conduisent,
par le procédé de médiation, au rapport — - donné par Metius.
Exemple II, — Vérifier la formule
en supposant a -i- 6 h- c = o.
83. Les progressions harmoniques. — On dit que des nombres tovmeni une progression harmonique lorsque leurs inverses sont «n progression arithmétique. Nous représenterons cette progression par
