III III I

2 3 4 a'* — 1 ^n /i-hi n-h2

l52 LIVBE II. — LES NOMBRES RATIONNELS.

On la démontre immédiatement en retranchant des termes de rang pair de la somme des in premiers termes de lu série harmonique la somme des n premiers termes de celle-ci (Catalan).

Exemple II. — On a Tidentité suivante, due à Dirichlet,

( ' "" i" 4 j "^ \3 '" <) ~ 8 j "^ • • • "^ (ïTT^ "■ 4T=^ ~ T^j 1 / I I I I I \

2\ 2 3 4 2/1 — 1 in /

Cette formule se démontre immédiatement, en réunissant chaque terme positif de la parenthèse avec le terme négatif qui le suit. Ainsi

î 1 '- = :/: lV

m — I \n — 2 î /i i\in — i m/

86. Sommation des inverses des factorielles. — Si Ton pose H = -i- JL ^. J J.

ab bc cd ' " kl

abc bcd cde ~^ ' " f^/^i ' III I

* abcd ' bcde cde/ ' ' ' ghkl '

et si l'on pari des égalités

ab a b

ir i I

abc ~~ ab bc

abcd abc bcd

on trouve, en sommant les égalités obtenues, comme au n"* 37,

ab kl

abc hkl

En parliciilicr, si Ton considère la série harmonique, on a les formules de Leibniz et de Stirling