III I I

.3.4 ' * n{n-r-i){n-h-i) 'ili.i (^ -^ i)(^ -+- ^)j

On peut, d'ailleurs, vérifier a posteriori la formule suivante, qui les renferme toutes :

y î ^ifi- ! 1.

jhd xix-^ i)...{jc -i-p) pip\ (/i -ht)... (n -+-/>) J

Lorsque l'entier n augmente indéfiniment, cetle somme a pour

limite

Exemple I. — Si le premier terme d'une progression arithmétique esl n = i, comme dans les progressions donnant naissance aux nombres polyf^onaux (n** 36), on a

a -+- aaô -f- 3 abc -+-... -f- (n — \)abc . , ,k =: - [abc . . A7 — i],

au abc abcd~^ ' " abc , . , l r\^ abc , » . i j

En particulier,

2! 3! 4! '" {n-hi)\ {n-r-i)l

Exemple If. — Si l'on pose

«>n a les formules

en i i I

— r=I-r--rH r-+-...H ;i

ni i! 2! ni

€rt+i = (/i-+- i)e„-+-i, Cn-i-i = (/n- 2) en— nen-i'

l54 LIVRE II. — LES NOMBRES RATIONNELS.

Exemple III, — Si deux progressions arithmétiques

Cly Oj Cf . « * ) "j f *

a, Pi y» ..m >t, ^»

ont la même raison r et le même nombre de termes, on a la formule

a ab abc . . . X- __ \V a abc . . . /"I

a ji «Py ' «?Y . . . >t^ ~~ ^ L * *?ï . . . X J

En mettant - en facteur, les fractions du premier membre ont, dans les deux termes, le même nombre de facteurs.