Triangle harmonique de Leibniz. — Si Ton pose
on a, avec les notations du calcul des difTérences,
" ~~ {n-r'i){n-\-'2) «(n-Hi)~" /i(/i -t- i)(n -h '-â)'
et, en général,
(-i)pp\
^PUn= -77
Par conséquent, le Tableau des différences de la fonction u„ représente les inverses des factorielles successives multipliées, dans chaque colonne, par un même nombre, ou encore les inverses des termes du triangle de Pascal, divisés, dans chaque colonne, par un même nombre ; ce Tableau diffère peu du Triangle harmonique de Leibmz. En appliquant à ce Tableau deux des formules fondamentales du calcul des différences (n®" 7S et 76), on a ainsi
' ' P . pip — i) , (-0''/>î
Ces formules subsistent en remplaçant le nombre entier n par un nombre fractionnaire quelconque x.
CnAPITRE IX. — LES NOMBRES FRACTIONNAIRES. iS")
Exemple /. — Si la progression arithmétique de raison r a (/? -t- i) termes, on trouve
p\rP l g. ^C^ , (-■)"
abc ...la b c " ' l
/ a ab abc ' ' ' abc , . . l
en désignant respectivement par les lettres G et A les combinaisons et les arrangements simples.
Exemple II. — La fraction
X(X -\-l){x -ir /\) , , .{X -\- -Àp — 2)
(a:-+- i)(a:-t-3)(j:-+- 'j) , . .{x -\-'ip — \} est égale au développement de
''a-H-i ^ (a:-f-i)(x-+- 3) '' (ar -f- i)(a7 -h 3)(r -+- 5;
Exemple IIL — La fraction
(ar H- i)(j?-4- 3) ... (a? H- 2/? — I ) est égale au développement de l'expression
'' x-\-i ^ {x-\-i){x-h'i) '' (xH-i)(j:'-i-3)(x-T-5)
Exemple IV, — La fraction
(-C-T- 2;(a" -+- i)...(j:' -h 2)d) est égale au développement de
Exem,ple V . — Si n > 2 est un entier pair, on a
n = IH ^ ) '- -+-...
in — i).. .9.7.5 (n — i)...7.5.3
et si n est un entier impair, on a
Exemple V'L — Quels que soient les nombres a, b, c, ...,A*, /, on a ridentité
I rr -H I (rt -h \)(b -h i) a ab abc
(a -«-i)(6-hi). . .(/ -h i) abc. . ,kl
(a -f-i)(6 -i-i). . .( A-f-i) e/6c. . ,kl
88. Les progressions géométriques. — Une progression géométrique est une suite de nonjbres tels que chacun d'eux est égal au précédent multiplié par un nombre constant q que Ton appelle raison de la progression. Nous désignerons par
les n termes de la progression, par P et par S le produit et la somme des termes. On a les propriétés suivantes :
I. Le quotient de deux termes de la progression est une puissance de la raison dont l'exposant égale ladiflTérence des rangs des deux termes.
II. Si l'on multiplie ou si Ton divise terme à terme deux progressions géométriques, on obtient une progression géométrique dont la raison égale le produit ou le quotient des raisons des progressions données.
III. Le produit de deux termes équidistants des extrêmes égale le produit des extrêmes.
IV. Le carré du produit des termes d'une progression géométrique égale le produit des extrêmes élevé à une puissance dont l'exposant est égal au nombre des termes.
On a donc
l = aq'^-\ V^={alY, P = a"q * .
89. Somme des termes d'une progression géométrique. — Pour ^ = I , on a S = /?«, et pour y < i ,
Iq — a
OU encore
b = rt •
Les puissances successives des nombres plus grands que i voni en croissant et peuvent dépasser un nombre donné, quelque grand qu'il soit.
Les puissances successives des nombres positifs plus petits que 1 vont en décroissant et peuvent devenir plus petites qu'un nombre donné, si petit qu'il soit.
La progression est croissante ou décroissante selon que la raison, supposée positive, est plus grande ou plus petite que i. Elle est alternée, lorsque la raison est un nombre négatif.
La somme des termes d'une progression géométrique indéfinie dont la raison est un nombre plus petit que i, en valeur absolue, a pour limite
Exemple /. — Un tonneau contient a litres de vin. On en lire un litre que l'on remplace par un lilre d'eau; puis on tire un second litre du mélange, que l'on remplace par un litre d'eau, et ainsi de suite. Quelle est la quantité de vin que contiendra le tonneau après n opérations?
Réponse
an-\
Exemple lï. — Une femme porte des œufs au marché, elle en vend à une première personne la moitié, plus la moitié d'un œuf; à une seconde personne, la moitié de ce qui lui reste, plus la moitié d'un œuf. Après n opérations de ce jjenre, elle a tout vendu. Combien la marchande avait-elle d'œufs en arrivant au marché?
A la dernière personne, la marchande a vendu un œuf; à l'avant-dernière, deux œufs; à la précédente (pialre, et ainsi en remontant. Elle en avait donc en tout x^ — i.
Exemple III. — Des joueurs en nombre n, et en ordre donné, cou viennent que le perdant doublera l'argent des (/i — i) autres. Ils perdent chacun une partie, dans l'ordre donné et, à la fin, ils ont chacun la même somme a. Combien chacun avait-il au commencement?
Le problème se résout en établissant la situation de chaque joueur après la ( 71 — lyème partie, puis après la (/i — 2)'""*' partie, et ainsi de suite, en remontant.
l58 LIVRE II. — LES NOMBRES RATIONNELS.
On trouve
! -- a"-* n I -+- 9.'*-^n i -i- n ft 9 et* . . . , a •
Exemple IV, — Des joueurs en nombre n cl en ordre donné jouent d ' la manière suivante. Le |>romi«^r joue avec le deuxième et perd la ^*™* pai — tic df ce qu'il a, le deuxième joue avec le troisième et perd la ^'™* partie? de ce qu'il possède à ce moment, et ainsi de suite. Enfin le dernier jou^ avec le premier et perd la y""™» partie de ce qu'il possède alors. A la fin du jeu, les joueurs possèdent la même somme a; quelle somme chacun «l'eux avait-il au début du tournoi?
Exemple V, — Si l'on désigne par S^ et S^-i la somme des n et des (n — i) premiers termes d'une progression géométrique de raison </, la somme des produits deux à deux des n termes de la progression géométrique a pour expression
Exemple VI, — On multiplie respectivement les n termes d'une progression arithmétique de raison r,
:- fi,b,c, . . . , A,X-, /,
par les n premiers termes d'une progression géométrique de raison y,
trouver la somme
a a H- 6 p -h cv -+-... -H l'k.
Exemple VII. — Si l'on désigne par Un la somme des termes de rang n de deux progressions géométriques, ayant pour raisons q et 7', on a la formule de récurrence
'*/i-f j= (q ■+• q)ttn-^i — qq' Un- Exemple VIII, — L'expression
est le produit des deux facteurs
et
i-\-x -r-x--^,, .-ha?"-*.
Exemple IA\ — On a
(n-a7)(i-h j:2)(i-f-d"»).. . {i-\-x^")= 1-+- j:-t-xî-+-:rî-T-...-T-x*'**'-»;
