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00. Propriétés des polynômes ordonnés. — Nous allons démontrer la proposition suivante : Etant donné un polynôme f[x), ne renfermant pas de terme constant y on peut trouver un nombre positif h tel que, pour toute valeur dex comprise entre — h et 4-/i, la v^aleur de f{x) soit comprise entre — A* et H-A*, si k est un nombre positif donné, aussi petit quon voudra. — En effet, soit

soit p la valeur absolue de x, R la valeur correspondante <le f{x) et A la plus grande des valeurs absolues des coefficients du polynôme ; on a évidemment

ou

iTm) livre II. — LES NOMBRES RATIONNELS.

Cl a Jortiori, en supposant o <C i,

Ad

d'ailleurs, de Tinégalilé

on tire

Si Ton désigne par/r le second membre de l'inégalité précédente, on en déduit que le polvnùme/(j:) est toujours compris entre — k et -h A', lorsque la valeur de x est comprise entre — h et -f- /i.

On a encore la proposition suivante : LorsqiCiin polynôme est ordonne sm\uint les exposants croissants de jr, on peut tromper un nombre positif h tel que, pour toute vit leur de x comprise entre — A et -f- /'i It* polynôme /{x) ait le signe de son premier terme et en diffère d\iussi peu f/uc Von voudra. — En eflet^ soit

\r |>ol\nome donné; on a

et il suffit de déterminer A de telle sorte que îe polynôme ?(x) .suit, on valeur absolue, plus petit qu'un nombre positif donné /«*. Los deux théorèmes qui préoèdent s'appliquent pour les exposants oroissants: les deux qui suivent, pour les exposants déoniissants : Lorsqu'un polyFuUne est ordonné suii\int les exftttsttnts tlrrntissfints, on peut trouver un nombre positif \ tel que, pour toute valeur de x dont la laleur absolue surpasse a, le tndynôme ait le signe de son premier terme, — Soit, en effet,

f\X) — a^x'*-r- iiix"*-^ - . .,— an\ si Ton remplace X par >'""*, on a