CHAPITRE IX. — LHS NOMBRES FRACTIONNAIRES. l6l

'^(r) (iésignant un polynôme ordonné suivant les exposants croissants de y et n'ayant pas de terme constant. On peut donc trouver un nombre positif A tel que pour toute valeur de y comprise entre — A et -f- A, la valeur absolue du polynôme soit plus petite qu'un nombre positif donné A*; par suite, si l'on pose À = A~*, lorsque la valeur absolue de x est plus grande que X, le rapport du polynôme à son premier terme est compris entre (i — k) et (, + A).

Ainsi, lorsque lu valeur absolue de .r devient plus grande qu'un nombre aussi grand qu'on veut, le rapport du polynôme à son premier terme a pour limite i. Plus généralement, lorsque .r croît au delà de toute limite, le rapport de deux polynômes de même degré s'approche autant qu'on veut du rapport des coefficients des deux premiers termes.

Lorsqu'un polynôme est ordonné suh^ant les exposants décroissants, on peut trouver un nombre positif ^^ tel que la i^aleur absolue du polynôme /(x) soit plus <j;rande qu un nombre positif h^ donné aussi ^rand quon l'oudra, — En effet, soit p la valeur absolue de .r, Il la valeur absolue de /(j^), et Tq, /*!,.. , /•// les valeurs absolues des coefficients àe f{x). Puisque la valeur absolue de la somme de deux nombres est plus grande que la différence des valeurs absolues, on a, en considérant y^j:-) comme la somme de son premier terme et de tous les autres

si Ton pose R >• I-., c'est-à-dire

et si Ton désigne par r le plus grand des coefticients, tous positifs, de la parenthèse, l'inégalité précédente sera vérifiée si l'on a

OU bien

/•up«— /•'

et a fortiori, en supposant p > i ,

/•op'- - --^— >o; p-i

l6-2 LIVRE II. — LES NOMBRES RATIONNELS.

il suffit donc de prendre

u = IH •

En parliculier, si Ton suppose L = o, le nombre \k est tel que le poljnôme ne peut s'annuler lorsque la valeur absolue de x surpasse [JL, et l'on dit que [jl est une limite supérieure des racines de l'équation f{x) = o.