LE CALCUL DES PROBABILITÉS

91. Probabilité et certitude. — La probabilité d'un événement est le rapport du nombre des cas favorables au nombre total des CAS possibles, en supposant tous les cas également possibles et en nombre limité. Ainsi, la probabilité est un nombre fractionnaire compris entre les limites o et i, qui sont respectivement les symboles de ï impossibilité et de la certitude. Le compte des cas favorables et des cas possibles appartient à l'analyse combinaloirc qui suffit, en général, pour résoudre les premiers problèmes qui concernent les probabilités. Au moyen de quelques théorèmes fondamentaux, ce calcul n'est plus qu'un Chapitre particulier de l'Arithmétique, ou de la Doctrine des nombres entiers, comme celui de la Géométrie de situation.

Exemple I. — Un sac contient/? boules blanches et q boules noires; quelle est la probabilité d'extraire, d'un seul coup, a boules blanches eA h boules noires?

La probabilité cherchée est le rapport du produit C/, Cyà C^,^^.

Exemple II, — La loterie. — Un sac contient/? numéros et l'on en tire q\ quelle est la probabilité d'obtenir r numéros désij^nés à l'avance?

La probabilité cherchée est le rapport de G^lJ! à C^. — Dans l'ancienne loterie, on avait /> = 90 et ^ = 5 ; en faisant varier r de i à 3, la formule précédente donne la probabilité de Vextralt,, de Vambey du terne, «lu quaierne et du quine.

Exemple III. — On tire trois boules d'un jeu de n lotos; quelle est la probabilité pour que l'un des nombres extraits soit égal à la somme ou à la demi-somme des deux autres?

Dans les deux cas, on trouve f^our n pair

Four n impair,

'in — I

iGi LIVRE II. — LES NOMBRES RATIONNELS.

Exemple IW — Un sac renferme b boules blanches el n boules noire« et Ton suppose 6 > /i; on lire ces boules une à une et Ton demande la probabilité qu(\ à aucun moment du tirage, le nombre des boules noire< sorties n*aura dépassé celui des boules blanches.

Si Ton représente les boules blanches sorties par des pas verlicau\ ' sur un échiquier et celui des boules noires par des pas horizontau\ — >>, la probabilité cherchée sera, d'après la théorie de Téchiquier triangulaire de Delannoy et du carré arithmétique de Fermât (n** 53 et 51».

T,; fj^^n^ I F,; ~ A - 1 '

Exempte V. — lu joueur a irairné n parties et en a perdu m on demande la probabilité que ses pertes nV»nt jamais ilépassé ses gains. On a. comme ci-dessus, pour la probabilité cherch-'-e, avec b = n,

Exemple II. — Lescrufin de ballottasse. — Deu\ candidats sont soumis à un scrutin de ballottai;e: le premier. A. obtient a suffrages, est élu, et Fautre. B. n'obtient que b suffrages. <jn demande la probabilité pour que. pendant le dé|H>uillemenl du scrutin. Ir< \oi\ de Félu A ne cessent pas une seule fois de dépasser celles de M»n Concurrent?

Représentons les \«ii\ de l'élu A | ar des pas verlicau\^, et celles du candidat m.ilheureu\ B par des p.is h«>ri£'>niau\ >-^ : le nombre total des manière^ dont peuvent s<- conibiner h^s \oî\ de< t1eu\ candidat^ est égal

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