CHAPITRE X. — LE CALCLL DES PnOB A Bl LIT ES. lG
coordonnées (a, b)y sans sortir de l'échiquier triangulaire PXQ de Dei-ANNOv; la probabilité cherchée est donc
Plus généralement, la probabilité pour que l'écart ne soit jamais inférieur à un nombre donné c est fournie par le rapport de Tj c ^ Fâ> ainsi qu'on le voit en baissant de (c — i) rangs la ligne PQ.
D'autres solutions de ce problème ont été données par MM. J. Bertrand et D. André, dans les Comptes rendus de l Académie des Sciences (t. CV, p. 3O9 et 436; Paris, 1887).
92. Probabilité composée. — Lorsqu'un événement se compose du concours de deux ou de plusieurs événements simples, indépendants les uns des autres, la probabilité de révénemenl composé est le produit des probabilités des événements simples.
Si un premier événement inihie sur la probabilité d'un second, la probabilité de révénement composé est le produit de la probabilité du premier parla probabilité réduite du second, c'est-à-dire celle qu'il acquiert quand le premier est arrivé.
93. Probabilité totale. — Lorsque les cas favorables à l'arrivée d'un événement peuvent se présenter de plusieurs manières qui s'excluent mutuellement, la probabilité de cet événement est égale à la somme des probabilités que l'événement se présenter? de chacune de ces manières.
Ainsi, soit pi la probabilité de l'événement lorsque la cause q agit certainement et exclusivement, et qi la probabilité que cetle cause est en jeu, la probabilité P de Tévénement est
^ = PiÇi-^PtÇt-^-' -^Piqi-^ —
Exemple /. — Quelle est la probabilité d'amener un as, au moins une fois, en jetant deux dés?
Cette probabilité est
6 * Ti "^ 6 ' G '^ ii ' Ô " 3(i '
Exemple II. — Quelle est la probabilité qu'un joueur amène un bre^ lan à la bouillotte?
On trouve
. ou —•
l6r> LIVRB 11. — LB8 NOMBRBS RATIONNELS.
Exemple III. — Probabililê pour obtenir un as, une seule fois, en jetant quatre ou cinq dés.
On trouve
5o4) îr>5i et •
Exemple /T.— (^hn'lle est la probabilité d'obtenir le point 7 avec deu\ dés, avant qu'aucun autre pt»int se protluise deu\ foi?? On trouve
Exemple l'. — On jette en l'air cinq pièces de monnaie; la probabilité pour qu'elles montrent trois piles et deux faces est égale à ^.
Exemple II. — Dans une loterie «le 4oooo billets, il y a trois lots; on prend ^<ooo billet<. Quelles sont les probabilités d'obtenir un lot ou de les gagner tous les trois?
On trouve respectivement
— : et - . •
là» li3
Exemple VII. — Une urne contient 10 boules blanches, 10 boules bleues et 10 boules rouges: on en prend trois au busard. Quelle est la probabilité d'amener une boule de chaque couleur?
()n tn»u\e
loo
Exemple VIII. — Kn combien de coups peut-on parier, avec chance égale, que l'on amènera trois as deux fois, en jetant trois dés? 11 faut 3Gi coups.
Exemple I.V. — Kn combien de coups, avec un seul dé, peut-on parier. avec chance éjrale, de >oir les six face^? Kn i3 coups.
Exemple A'. — Vax combien de couj^s, avec deux dés, peut-on parier, avec chance égale, d'amener tous les doublets? En 79 coups.
La plupart des exercices précédents sont empruntés à Moivre.
91, Théorème de Bayes. — Désignons par p^j />2, />3«. ... les probabiliti's que des causes C|, Ca, C3, ..., qui s'excluent mutuellement, donnent rcs[)ecllvemenl à un événement, et par ^i, q^^ q^s .. . les probabilités respectives de ces causes. Supposons que l'événement considéré ait été observé dans une épreuve, laproba-
CDAPITRE X. — LE CALCUL DES PROBABILITES. 167
bîlité mi que rarrivée de révénement est due à la cause c/ esl donnée par la formule
P\qi-^Ptqt-^-
Exemple I. — Une urne contient ^i boules blanches et nx boub'»* noires: une deuxième urne contient b^ boules bbincbes et nj boules noires, ...; une r**"* urne contient br boules blanches cl /i^ boules nuires. En tirant de ces r urnes une boule, celle-ci se trouve blanche. Quelle est la probabilité que cette boule est sortie de Furne de rang i?
On trouve, par l'application du théorème de Bayes, pour numérateur et pour dénominateur de in/,
jf, et >-- ;
/• bi - /// Âê^ r bi - n,
011 a donc
b, . V ^^ bi-\- Ni A^ bi- Hi
Exemple II. — Une urne contient cinq boules, les unes sont blanches. les autres sont noires, mais on ignore en quelle proportion. On lire six boules, en remettant après chaque tirage la boule sortie, et ii ne sort que des boules blanches. Quelle est la probabilité pour que l'urne ne contienne que des boules blanches?
Supposons d'abord que toutes les combinaisons possibles des cinq boules, les unes blanches, les autres noires, aient été préparées dans des urne> «l'apparence identique et que le hasard ait décidé le choix de l'une «l'elle*'. Alors les probabilités yi, ^j, . . . sont égales entre elles, et l'application <hi théorème de Bvyks donne, pour la probabilité cherchée.
Mais si l'on a composé l'urne, en tirant au sort, par le jeu <le pile ou face, la couleur de chaque boule, les probabilités //i, </2. ..., seront pro- |iortionnelles aux nombres 5, 10, 10, .), 1, el la probabilité cherchée serait
Exemple III. — Une urne contient a boules, noires ou blanches, dont on a tire la couleur à pile ou face, avant de les introduire dans l'urne. En faisant \x tirages dans l'urne ainsi composée, on obtient b boules blanches et n boules noires. Quelle est la composition la plus probable de l'urne?
On trouve
a a -^ im . . . au-- -m
blanches et noues.
lG8 LIVRE II. — LES .NOSIBRES RATIONNELS.
95. Théorème de Jacques Bernoulli. — Soit p la probabililc^ (1*1111 t'véncniciil el <i le nombre île fois qu'il se présente dans une suite (Je s épreuves; soit P la probabilité (pie la différence entre /> el (// : 5 ) soil inférieure, en valeur absolue, à £. On peut toujours prendre s assez ^rand pour que P diflére aussi peu qu'on voudra de funilé.
lorsque la probabilité d'un événement est variable d'une épreuve à Tautre. le théorème de Hkiooilm n'est plus applicable. La généralisation pro|)Osée par Poissiin, sous le nom de loi des S^rands nombres, manque non seulement de rigueur, mais aussi de précision.
96. De l'espérance mathématique. — Lorsqu'un événement encore douteux doit amener un certain bénélice, on appelle espéranrc nuithénuitit/iK*, le |)roiluit de ce bénéfice par la probabilité «le l'obtenir. Lorsque la somme es|)i'rée est connue, la recherche de la |)robabilitc et celle de res|)érance mathématique forment un même problème. Mais, si des événements a\ant pour probabilités respectives/?!, />2. />3« -• - donnent droit aux. sommes respectives .Vi, .Vj, 53 l'espérance mathématique est
Ainsi, l'espérance mathématique est connue lorsque l'on a calculé les probabilités respectives des divers cas possibles: mais, parfois, il est plus simple «le calculer directement l'espérance.
Exemple I. — Pierre et Paul jouent auyew de rencontres. Un sac conlient 'JL boules numérotées de i à 'jl: Paul tire suroessivemenl les *jl boules i*t s'engage à donner à Pierre i'*" chaque foi< qu'un numéro sortira à son rang. Quelle est l'espérance mathématique tic I*ierre?
l/e»|>érance est |n)ur chaque iiia;:e — .i^'. el pour les ;ji lirases. elle e*l
égale à i'*". Nou« calculerons plus b^in, au Chapitn' VIII. la prol>abilité «Ju jeu des rencontre* i n** 12.*j i.
Exemple II. — l*ierre a trois pièces et Paul en a deux; ils conviennent que chacun jettera ses pièces en l'air et que celui qui ohtientira le plus grand nombre de faces prendra les cinq pièces. Le jeu est-il équitable?
Pierre a pour probabilité tie sragner
«Ml
