CHAPITRE X. — LE CALCUL DES PROBABILITES. I

Pour que le joueur soil ruiné après la (X -h lAy*^"" partie, et pas avant, il faut et il suffit :

I* Que, pendant le cours des (X -f- [i — 1) premières parties, ses pertes n'aient jamais dépassé ses gains de plus de (n — i);

2* Qu'après les (X H- [i — i) premières parties, l'excès de ses pertes sur ses gains soit égal k{n — 1);

3"* Qu'il perde la (X -+- ,jty«'nc partie.

Soient Wi, gtj, IÎT3 les probabilités correspondantes, et II la probabilité composée ; on a

II = lîTj TïTjlîTs.

En se reportant aux notations des écbiquiers arithmétiques (n*** 53 et 55), et en représentant par 4^ et — >- les gains et les pertes, on a

pr yy ,

TïT| — — - — j njj — — : t oJj — - ,

par suite,

II =: -£=1 =r -^ (X -i-;x — 1)!

2>.-HtJL 'i>^-^V- Xî;a!

Cette question delà durée dujeusL été traitée autrement par IIuygens, Moivre, Laplace, Lagrange, Ampère et, tout récemment, par M. J. Bertrand {Comptes rendus de r Académie des Sciences, t. GV, p. 437; 1887).

Exemple II. -- Pierre et Paul jouent à un jeu de hasard, la probabilité <le gagner chaque partie étant p pour Pierre et q pour Paul. Les enjeux de Pierre et de Paul sont respectivement a et ù francs, et leurs fortunes sont m et n. Quel est le nombre probable des parties qui seront jouées avant la ruine de l'un des joueurs, en supposant le jeu équitable?

C'est l'entier du quotient de mn par ab. — Si le jeu n'est pas équitable. et si l'on désigne par m la probabilité calculée pour que Pierre finisse par ruiner Paul, le nombre des parties est l'entier de

( /// -^ fi )m — n jfh - (ja

Exemple IlL — Pierre et Paul jouent l'un contre l'autre avec des probabilités égales. Ils possèdent chacun n francs avant d'entrer au jeu; à chaque partie, le perdant donne i franc au gagnant, et le jeu ne cesse que lorsqu'un des joueurs est ruiné. Quelle est la probabilité II pour que le jeu se termine à la fin de la [jl'*"'"® partie?

Pour que l'un des joueurs soit ruiné après cette (x'""* partie, et pas avant, il faut et il suffit :

I* Que, pendant le cours des (fi — i) premières parties, l'écart entre les pertes et les gains de chaque joueur n'ait jamais dépassé (/i — i);

2* Qu'après les ([jl — i) premières parties, l'excès des pertes sur les gains de l'un des joueurs soit égal à (n — i):

3'* Que la dernière partie soil penlue par le joueur qui ne possède plus

fr

que 1

Soient T7i,iîTs.T73 les prol)al>ilités rorrespon<lanlcs, et FI la probabilité chervhvc. Nous remarquerons «l'abonl que. pour la possibilité du problème, il faut supposer \x et n de même parité. Soit done

;x - - Aï - » X,

•ji

— n — iX:

nu a

rn* — 1 — - -

II nous reslcà déterminer la valeur de iîTi. L>csi<;nons par x et jr les nombres des parties perdues et j;aj;nées par l'un des joueurs; rcprcscatons les pertes par des pas verticaux |. sur un échiquier et les ^ains par des pas horizontaux — >. Le nombre des dispositions des x et des y y telles que l'écart entre les gains et les pertes, ne dépasse pas (ai — i), est égal au nombre des marches d'une tour, par pas successifs, de l'origine à la case(j^, ^), sur l'cchiquicr hexagonal (n° .*>(>), dans lequel f>n suppose

tf — h — { n -- i).

Ainsi ini lî'^t le rapport de 11^ à F^; mais, pour la case (y, ^) dont les coonlonnées \érifient les relations

.r- X^ix I

«Toù ,r ^ X - I et r ~ À, <»n a

ou eiicon;

en désignant par hn le plus grand multiple de ii contenu dans X. Pjir suite, on a

Exemple IV. — A et H jouent l'un contre l'autre avec des probabilités p cl q] ils possèdent respectivement a et 6 francs avant d'entrer au jeu. A chaque partie, le perdant donne un franc au gagnant et le jeu ne cesse que lorsque l'un des deux joueurs est ruiné. On demande la probabilité II pour que le jeu se termine juste à la fin d'une partie de rang assigné.