CHAPITRE X. — LE CALCUL DES PROBABILITÉS. i
Soit fx ie rang assigner à la partie finale. En désignant par Ha et IIb les
probabilités respectives que A ou li serout ruinés après la {jl''""* partie, el
pas avant, on aura
n = II.v-^-llii.
En raisonnant comme à Texemple précédent, ou a
Ha - ^f-^ < P^-'^P Fi, X p =:- p-qy h; ...
Si l'on pose
H .ft ~ vi,v, a -4- 0 -- r/,
s -,'hd -^ h
OU bien
' " pr-na-h-i 1 .
pour toutes les valeur** de //,
Exemple V. — A joue contre B; à chaque partie, les probabilités qu'iU ont respectivement de gagner sont p el </, en sorte que /? -«- 7 = i, et le perdant donne un franc au gagnant. Kn entrant au jeu, les joueurs possé- «Jenl respectivement a et h francs. On demande la probabilité que A ruinera B avant le coup de rang ;x.
On trouve, par l'échiquier hexagonal (n** 36),
ï[=pf>Z{pq)^W^^''\ en faisant varier X de o à \{\x — h) — i. On voit facilement que si
A varie «
de
II possède
I terme:
->. termes;
- xh^
Dans son Traité du Calcul des Probabilifés ( p. 81), IVI. Laurent donmr une solution pour le cas où a et b vérifient la relation
b — fja -^-pa-^.
Exemple Vf. — Carré arithmétique de Delannov. — De combien de
ijO LIVRE II. — m:s m>mbrks rationnels.
Kn partiruliiT. diiiis rrrliiiinicr pciita^tMiiil. |ii)iir les h'rini'< ilr la traii'-- >ei*salt; >iliit'e aii-desst»us dc< xri'n>, on a
et. par siiih',
ii; '!»;.
Excmplr l //. — Oimiv jinu'iir'î irt'rInM> inarqut'iil. an fur ol <'i ino>un*. \c^ pai'li«*s qu'iU «:a;:iiiMil et celles ({ii'ils pordeiil : déplus, à chaque partir nulle, rliacun d«*s jnueur.« manpie une partie i^'a^^nre et une partie penlur. Après avoir n)ar(|ué ainsi eliacnn àn partie^, iN n'ont ni ^ain ni perte, (hi demande la prohahilitê (iu*ils ïMinMit jmir'i/t parties effectives, c*e!>t-ù-diic (pi'il n'v aura pas eu df partie nulle.
Si l'on d«-si^ne les parties de l'un de> joueurs par des pas horizontaux, diaf^onaux. \erlieau\. >ui\ant «pie la partie a été pi^'nêe, nulle nu perdue, la considération de réclii(|uier <t> montre ipie la pndiahilitê cherchée est le (piotient de FJJ par *l»:j.
