CHAPITRE XI. — LA DIVISION ALGÉBRIQUE. l-Ji

De même, connaissant les quolients cl les restes des divisions de/(x) par (x — ci){x — 6), et par (x — a)(x — c), en supposant a, by c inégaux deux à deux, on calculera le quotient et le reste de la division de f{x) parle produit (x — à) (x — b)(x — r), en faisant la différence

et en divisant par (b — c). Ces calculs seront «généralisés dans la théorie de Tintcrpolation et dans celle de la décomposition des fractions rationnelles.

/exemple /. - Lorsqu'un |)olynôme cMiticr est divisible par (x — a)^, par (x — 6)P, par (.r — c)T, . . . , en (lési<;nant par a,h, c, ... des nombres inégaux doux à deux, il est divisible par le produit

Exemple II. — Si un polynôme entier en x, y, z est séparément divisible par les binômes {x — y), {y — ;;), {z — r), il est divisible parleur produit.

Exemple III. — Démontrer qu'un polynôme entier et symétrique en X et j', divisible par (.r — y), est divisible par(.r — y)-. Généraliser pour ' lin polynôme à trois variable*.

Exemple IV. — Pour (lue

X'" -h yn -u 3//» -{jr -t- y 'r- Z )"^

<oit divisible par le produit

il faut et il suffit que m soit impair. — Tormor b* «juotiont. Exemple W — Démontrer que

yn z'i -h zPx^r H xny/ — y/ zf — z'Txr - x'iyn tri que

xPyi z'' -r- yi' z'i X'' -^ zP x'f y — xP y z'i — yP z^ x'i — zPx'^y'f

sont divisibles par le produit

|8o LIVRK II. — LES NOMBRES RATIONNELS.

Eremple VI. — Décomposer «în facteurs les expressions

x'^iy — z )-+->'•( z --x)-H '5»(x— ^), j-»(5— ^-ï ) — y^Kx — z^)'r- z^{y -- x'^)-^ xyz{Qcyz — i).

Exemple Vif. — Drmonlrcr qiic

, ^ +- V .:- 5 )t.l + l J-^ t^l — yl/l-f-1 -1/1 -Hl

e*it <li\isible par

lOâ. Expression d'un polynôme de degré n comme somme algé" brique de polynômes. — Si Ton désigne par /{x) un polvDÔme de dejjjré /?, el par

une suile de poljnomes donnés dont les degrés reproduisent la série complète des n premiers nombres entiers, le poijnùme f{x) peut être transformé en une somme de ces polynômes multipliés respectivement par des coefficients indépendants de x. En d'autres termes, on a l'identité

dans laquelle les quantités Ao? ^h^ ^-2? •••> 'vi sont des constantes, dont la première n'est jamais nulle.

Pour effectuer cette transformation, on divise f{x) par ^tt{x)'^ on obtient pour quotient A„ et Ton divise le reste par Ç/i i(-r), ce qui donne X|, et ainsi de suile. D'ailleurs, cette transformation, toujours possible, n'est possible que d'une seule manière pour une suite complète donnée des polynômes 'f (j^). Lorsque ces polynômes représentent les puissances de x,

-rti yr'i—x /./t— î T^ or \

les constantes A sont précisément égales aux coefficients dey(jr).

Exemple I. — Convertir, ilans un système <Je base donnée, un nombre écrit dans le système décimal.

Voici un moyen assez rapide indiqué par Legendrk dans la Théorie des nombres, pour exprimer un nombre du système décimal en caractères bi-