CHAPITRE XI. — LA DIVISION ALGÉBRIQUE. l8l
naircs. Soit, par exemple, le nombre ii 183 44^! ^^ le divisant par 6|,
on trouve le reste 21 et le quotient 17474». Ce dernier nombre divisé
par 64 donne le reste 21 et le quotient 2730. Enfin 2730 divisé par 6»
donne le reste 42 et le quotient 4'''* Mais 21 et 42 s'expriment dans le
système binaire par
oioioi et loioio;
donc le nombre proposé s'écrit dans la numération binaire
lOIOIO lOIOlOOIOIOI OIOIOI.
Exemple II. — Quels que soient les n nombres «, 6, c, ...,/, on a l'identité
ijr--a)iT'^h),..{x — /) ab . . , l
T .r(.r — ft) x(.v —n)..,(x — X' )
a ah ab . . , kl
103. Divisioû des polynômes ordonnés suivant les exposants croissants. — Diviser un polynôme
f(x)=ao-7- (Il X -~ a\ .r* -+- . . . par un polynôme
g{x)— b^-^ byx -^b^x'--^ ...
revient à trouver, pour les valeurs successives, entières et positives de/>, des polynômes Qp(^) de degrc^/?, de telle sorte que
(I) /(^)= ^t,{x) g{x)-\- xP^'^V.pix).
Rp(j:) désignant un polynôme ordonné suivant les exposants positifs et croissants.
L'identité n'est possible que d'une seule manière, pour une valeur déterminée de/?; en d'autres termes, si Q et Q' désignent des polynômes de degrés />, R et R' des polynômes entiers, les
égalités
/(j-)--Q>-(j:-) -^xP^^W,
entraînent l'identité de Q et de Q', et celle de R et de R'. De ridentité (i), on déduit
— - Q(-^) -^- XP"^^ —; ,
l82 LIVRE II. — LES NOMBRES RATIONNELS.
qui conduit au développement d'une fraction rationnelle suivant les exposants croissants de la variable x.
On peut donc développer une fraction rationnelle sous la forme dUin polynôme entier de degré p augmenté d^un terme complémentaire j égal au produit de j:'''*'* par une fraction rationnelle qui reste finie pour ;r = o; le développement n'est possible ([ue d'une seule manière. Lorsque g{^x) est divisible par x*, on met x~^ en facteur.
On peut aussi développer une fraction rationnelle suivant les exposants décroissants. Soient
/( x) ~ a^x'^^-r- a^x'"-^ -Î-. . .-I- rt /?'(x) -- b^xf^ — b^x'^-^ -h . . . an\
si Ton pose X ^^- y'^^ on a
f({x) ' bo-h biy ' . . .-,- b„y'
On développe la fraction rationnelle en y suivant les exposants (croissants, et Ton remplace ensuite y par a:~'. La décomposition n'est possible que d'une seule manière.
Exemple J. — Si /(x) est un polynôme ordonna suivant les exposants
croissants de x
J'(x) = i -t^ ax -^ bx^- - cr^-^. . .,
les coefficients du quotient i\c/{x) par (i — x) sont successivement
1, 1 -f- rt, t-i-a-hby i -h a -~ b — c,
La méthode de division par 9 =(io — i) dans le système décimal, que nous avons indiquée au n**27 (Ex. V), est un cas particulier de ce résultat. On déduit les développements
. — 1 j . 1 r* i 'X fi K '*.3
Le Tableau des coefficients reproduit, au signe près, le triangle de Pas-
